ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА

Планирую выложить на блоге материалы своего курса традиционной («философской») логики, делая акцент на его смысловых, дискуссионных и других принципиальных моментах. Надеюсь, это будет полезно преподавателям и тем студентам, которые стремятся сознательно освоить логику. Возможно, для кого-то из них наше изложение окажется более удобным; во всяком случае, к этому стремился его автор. Он также всегда стремится к краткости изложения, порой ради этого опуская частности.

  Так наз. математическую логику мы тут не излагаем, но освещаем ее основные идеи и широко используем символику. Поэтому сначала размещаю справочник по употреблению символов и основным формулам. Он предлагался студентам, распечатанный на странице формата А4; пожалуй, пригодится и посетителям блога. Правда, символика, употребляемая сейчас разными авторами, заметно различается; но тут ничего не поделаешь, приходится какую-то выбирать.

Логические союзы и буквенные обозначения

Естественные союзы: ù – отрицание; & – конъюнкция («и»); + – дизъюнкция («или»); Å – строгая дизъюнкция («либо-либо»); ® – импликация («если... – то...», или «следует»); º – тождественно. 

Искусственные союзы: 

штрих Шеффера  A | B º ù (A & B); стрелка Пирса A ¯ B º ù (A + B)

Знак выводимости: Þ . Буквы А, В, С... обозначают любое суждение, Г, Δ – законченные умозаключения или теории, x, y, z... – индивидные переменные.

Модальные функторы (алетические): # – необходимо; à – возможно. Кванторы: "x – все x; $х – (существуют) некоторые x

Основные тавтологии исчисления высказываний

Принципы логики: ù (A&ùА);  АºА, откуда ù ù АºА; АÅù А; (A ®B)&A Þ B (modus ponens).

Закон контрапозиции (А ®В) ® (ù В ®ù А), откуда (А ®В) &ù В Þ ù А (modus tollens).

Законы де Моргана: ù (А&В) = (ù А +ù В); ù (A+B) º (ù A&ù B).

Законы дистрибутивности: (А&В)+С= (А+С) & (В+С); (А+В)&С º (А&С)+(В&С).

Отношения модальных суждений одного содержания:

А ® àА; #А º ù àù А; àА º ù #ù А; А ® $А (спорно);

Парадоксы материальной импликации:

(А ® В) & (ù А ® В) Þ В; следствие: (ù А ® A) Þ A [закон Клавдия: истина выводится из чего угодно];

А ® (В ® А); ù А ® (А ® В) [закон Дунса Скота: из лжи выводится что угодно]

Некоторые истинные (фактуальные) формулы исчисления предикатов

Аксиома  Баркан: à$х Р(x) ® $х àР(x) (если $ трактуют как реальное бытие x, то эта аксиома превращается в парадокс)

"x"y P(x,y) ® "y"x P(y,x); $x(A ® B) ® (A ® $xB); "хА ® (ù $хù А); $хА ® (ù "хù A)

Схемы умозаключений логики высказываний

(Чисто) условные УЗ: (А ® В)  & (В ® С)  Þ  (А ® С)

Условно-категорические УЗ: modus ponens и modus tollens (см. выше).

Разделительно-категорические УЗ:

modus ponendo tollens (А Å В) & А Þ ù В; 

modus tollendo ponens (А + В)  & ù В Þ А

Конструктивная дилемма [(A ® C)  & (B  ® D)]  & (A + B) Þ (C + D)

Деструктивная дилемма [(A ® C)  & (B  ® D)]  & (ù A + ù B) Þ (ù C + ù D)

Разделительные УЗ: 

(S есть A + B + C...) & (A есть A₁ + A₂) Þ (S есть A₁ + A₂ + B  + C...)

Косвенные УЗ:

1) Правило введения импликации (теорема о дедукции) 

[(Г & А) Þ В]  Þ [Г Þ (А ® В)]

2) Reductio ad absurdum [(Г & А) Þ (В & ù В)] Þ (Г Þ ù А)

3) Рассуждение по случаям [(Г Þ C)  & (Δ Þ D)]  & (Г + Δ) Þ (C + D)

Непосредственные умозаключения логики предикатов

Превращение (S – P) Þ (S ù – ù P); Обращение (S – P) Þ (P – S);

Противопоставление предикату (S – P) Þ (ù P ù – S)

(здесь S обозначает субъект суждения,  P его предикат, –  связка между ними).

Структура простого категорического силлогизма

М – Р  – бóльшая посылка (maior)

S – М  – меньшая посылка (minor)

S – P  – заключение (conclusio)

(где S – субъект заключения,  P – его предикат, М – средний термин).