1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И СУЖДЕНИЯ
В формальной логике слова «высказывание» и «суждение»
употребляются как синонимы, потому что она работает только с одним видом
высказываний, а именно – с суждениями. Но в общем смысле, философском и
грамматическом, более широким понятием является высказывание. Оно определяется как любая осмысленная связь понятий,
не сводящаяся к другому понятию. Точнее выражаясь, это любая связь, за которой
можно представить некий денотат
(предметное значение символов, не обязательно реальное).
Грамматической формой высказывания является законченное предложение любого вида. К
примеру, «Европа плюс» – не законченное предложение, и поэтому не высказывание.
Это словосочетание используется сейчас как название одной из российских
радиовещательных корпораций, т.е. – как имя собственное, а такие имена не
обязательно обладают смыслом и значением. «Фосфоресцирующий в темноте кошачий
глаз» – осмысленное понятие, выраженное в нескольких словах, но предложения они
не образуют; это синтагма, но не высказывание. «Квадратичность пьет воображение»
– законченное предложение, но для грамматики – не высказывание, т.к. по
содержанию бессмысленно и не имеет денотата. Однако формальная логика вполне может
с ним работать, т.к. нечувствительна к содержанию, а по форме это – обычное
суждение.
Суждением называется такое высказывание, в
котором что-либо утверждается или отрицается. Поэтому оно может
расцениваться как истинное или ложное, но – только если оно осмысленно. А этот
вопрос решается, опять-таки, за пределами формальной логики и логики вообще,
путем сравнения суждений с опытом и практикой. Повторим: логика работает только
с этим видом высказываний. Обычно суждение выражается повествовательным предложением, а вопросительные и побудительные (восклицательные)
предложения в общем случае не являются суждениями. Исключение составляют т.н.
риторические вопросы и восклицания: «Кто не знает имени Шекспира?», «Ты посмотри,
какая в мире тишь!» и т.п. Есть исключения и для повествовательных предложений:
суждения вкуса и долженствования не подлежат объективно-истинностной оценке,
т.к. выражают некоторые субъективные вкусы и установки, личные или
общественные.
Вопросительные и побудительные высказывания тоже
играют немалую роль в познании. Говорят, что правильно сформулировать проблему
– значит наполовину ее решить; но проблема и есть вопрос, на который пока нет обоснованного ответа. Побудительные высказывания
в форме идеалов и лозунгов играют большую роль в организации всякого дела, и в
социальных науках фактически выступают в качестве гипотез. А гипотетико-дедуктивный
метод – один из важнейших и эффективнейших методов познания. Тем не менее,
теоретические доказательства строятся только посредством суждений. Но то
обстоятельство, что формальная логика не отличает лозунги и другие суждения
вкуса и долженствования от суждений, отражающих саму реальность, порой
способствует заблуждениям в сфере социального познания: напр., выводы из
желаемого принимаются за суждения о действительном, о перспективах развития и о
действиях, которые тут потребны.
Как и предложения в грамматике, суждения в логике делятся
на простые и сложные. Структура простого суждения включает три элемента: субъект (S) – то, о чем нечто высказывается
(подлежащее), предикат (P) – то, что
высказывается о субъекте (сказуемое), связка
– способ их соединения. Связка обычно обозначается просто через тире; тогда в
символической записи получается S–P. По характеру связки традиционно выделяют
три вида простых суждений:
1) атрибутивные,
или суждения свойства, в которых связка явно или неявно означает «присуще
свойство», напр.: «Роза приятно пахнет»; в символической записи SaP.
2) релятивные,
или суждения отношения, напр.: «Париж находится между Лондоном и Москвой»;
символически SrP, или R(a1, a2, ..., aN), где R – имя отношения;
3) экзистенциальные,
или суждения существования, в которых утверждается или отрицается бытие субъекта
суждения: «Существуют египетские пирамиды»; «Не существует снежного человека»; «Русалки
существуют только в воображении», и т.п.
Символическая запись для экзистенциального суждения
в традиционной логике не определилась, что не случайно. Сам Аристотель и многие
другие специалисты (в т.ч. – автор этих строк) полагают, что признак
существования логически не отличается от присущности; следовательно,
экзистенциальные суждения есть только вид атрибутивных суждений. Но логика
находится под влиянием философии, в которой категория бытия с древности запутана
идеалистическими учениями; и мы еще не раз коснемся споров вокруг т.н. экзистенциальной
логики и формальной онтологии.
Пока же отметим, что релятивные связки тоже не так
специфичны, чтобы для них обязательно вводить особую форму записи: ведь часть
связки, определяющую вид отношения, можно трактовать и как часть предиката. Это
позволяет применить ко всем простым суждениям универсальную форму записи SaP, далее конкретизируя форму суждения
«навешиванием» т.н. функторов.
2. ФУНКТОРЫ В СУЖДЕНИИ
Функтор – это операция, которая преобразует
свойства знаковой конструкции, сохраняя ее основное содержание. В логике употребляются
в основном функторы трех видов:
1) Модальные функторы
обозначают оценку отношений субъекта и предиката с той или иной позиции. Суждения
без явной модальной окраски принято называть ассерторическими, от греч. assertoris
– утвердительный; термин не очень удачный, иногда приводящий к недоразумениям, но
закрепленный традицией. Впрочем, немодальные суждения часто называют не ассерторическими,
а категорическими.
Сами категории истинности и ложности (суждений)
порой относят к модальностям, и рассматривают их как функторы, обозначая напр.
символами «И» и «Л». В самом деле (как мы уже замечали), оценка истинности изначально
формируется за пределами логики как таковой; внутри нее можно говорить только о
правильности. В естественной речи часто встречаются деонтические модальности
(от гр. deontos – должное),
отражающие нормативный характер социальных отношений: допустимо, разрешено,
запрещено и т.д.; но отношения долженствования, по своей субъективной природе,
мало поддаются формализации.
Формальная логика обычно работает с т.н. алетическими
модальностями, отражающими тип объективной обусловленности явлений или
высказываний: необходимо, возможно, случайно, неизбежно и т.п. При этом обычно используют
только два функтора – «необходимо» и «возможно». Порой к ним присоединяют
модальность «существует», якобы выводимую из «необходимости». Но этот момент
сомнителен, как сомнительна вся т.н. экзистенциальная логика. Из понятия Пегаса
необходимо следует наличие у него крыльев, однако крылатых коней никто наяву не
видел. Вообще, существование – не модальность и не функтор, а свойство предмета,
определяемое не мыслью, а реальными обстоятельствами.
2) Качественные
функторы обозначают утвердительный или отрицательный характер суждения. В
естественном языке эту роль выполняют слова с положительным или отрицательным
значением, напр. «Иванов присутствует – Иванов отсутствует», а для отрицания
применяют еще специальные слова и частицы: «нет», «неверно», «ложно», «ошибочно»,
«не-» и т.п. Напр.: «Герань цветет – Она не цветет – Неверно, что герань цветет
– Ты ошибся или обманываешь, что она зацвела». В современной символической
записи суждение без качественного функтора обычно трактуется как утвердительное
или истинное, а суждение со специальным функтором (ù или Л)
– как отрицательное или ложное.
3) Количественные
функторы, они же кванторы (от
лат. quantum – сколько) характеризуют
суждение как относящееся либо ко всему объему субъекта (общее суждение), либо к
его части (частное суждение). В естественном языке употребляются слова «все»
или «некоторые», а отрицательное общее суждение может обозначаться словами «ни
одно», «никакое» и т.п. В современной символической записи используются,
соответственно, квантор общности "
и т.н. квантор существования $.
Последний можно читать «хотя бы некоторые...» или «существуют такие...» Мы уже
отмечали, что второй вариант его прочтения порой приводит к недоразумениям.
Еще некоторые особенности тут следует иметь в виду.
Во-первых, единичные суждения (напр. «Эта квартира уютная») подпадают под схему
общих суждений, поскольку относятся ко всему объему субъекта. Во-вторых,
частные суждения могут трактоваться в двух смыслах: в ограничительном (не все),
или в расширительном (хотя бы некоторые, но может быть и все). Обычно принимается
второй, расширительный смысл, который ближе к естественной речи; а ограничительный
смысл особо выделяется, напр. словами «только некоторые» или специальными
символами. Но иногда соответствующий смысл приходится улавливать из контекста.
3. ЯЗЫК AIOE И ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
В традиционной логике качественные и количественные
характеристики простых категорических (или ассерторических, т.е. немодальных) суждений
выражаются т.н. языком AIOE. Это аббревиатура из условных обозначений четырех типов
суждений, ее составляющие происходят от первой или второй гласной лат. слов affirmo – утверждаю и nego – отрицаю, и означают
следующее:
A –
общее утвердительное суждение, типа Все S
есть P, напр. «Все розы это цветы»;
I –
частное утвердительное суждение, типа Некоторые
S есть P, напр. «Некоторые розы белые»;
O –
частное отрицательное суждение, типа Некоторые
S не есть P, напр. «Некоторые розы не красные»;
E –
общее отрицательное суждение, типа Ни
одно S не есть P, напр. «Ни одна роза не фрукт».
В XI в. византийский философ Михаил Пселл представил
отношения этих типов суждений по их истинности или ложности (при тех же субъекте
и предикате) в виде т.н. логического квадрата. Его изображение помещено в этом
же блоге, рядом с данным текстом. В верхних углах этого квадрата располагаются общие
суждения (типов А и Е), в нижних – частные (соответственно, типов I и О). При
этом верхняя образующая квадрата выражает отношение контрарности, т.е. противоположности, напр.: «Этот цветок черный» и
«Этот цветок белый». Суждения, находящиеся в таком отношении, могут быть вместе
ложными, но не могут быть вместе истинными; в нашем примере, цветок может оказаться
не черным и не белым, а красным и др.
Суждения, расположенные по концам диагонали квадрата
(А и О, Е и I соответственно), находятся в отношении контрадикторности, т.е. противоречия. Согласно принципу
исключенного третьего, если одно из них истинно, то другое обязательно ложно.
Так, если истинно, что «Ни одна роза не цветет зимой в открытом грунте» (тип E), то ложно, что «Некоторые розы
цветут зимой в открытом грунте» (тип I).
Нижняя образующая квадрата (между суждениями типа I
и О) выражает отношение субконтрарности (частичной противоположности). Такие
суждения могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными. Так, из
суждений «Некоторые розы в этом саду белые» и «Некоторые розы в этом саду не
белые» оба могут быть одновременно истинными, но хотя бы одно из них истинно
(если не бессмысленно).
Наконец, вертикальные образующие квадрата выражают отношение
логического подчинения (субординации).
Если подчиняющее общее суждение (типа А или Е) истинно, то соответствующее подчиненное
суждение (типа I или О соответственно) также истинно; но если подчиненное суждение
ложно, то подчиняющее тем более ложно. Так, если все студенты в группе
успевающие, то и все студенты любой ее подгруппы тоже успевающие. Но если неверно,
что некоторые пластмассы электропроводны, то ни один вид пластмасс не электропроводен.
Как видим, логический квадрат позволяет строить некоторые
сложные суждения, и даже – элементарные умозаключения (вид т.н. непосредственных
умозаключений). Но в символической логике теория сложных суждений выступает в иной
в форме. К ней мы и обратимся в следующем пункте темы.
4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ
Сложными называются такие суждения, в составе которых
можно выделить более чем одно суждение. Их логическую структуру нельзя свести к
одному субъекту и одному предикату. Современная теория таких суждений выступает
в виде исчисления высказываний
(правильней было бы – суждений, но уж
так сейчас принято), и исчисления
предикатов.
Исчисление высказываний называют также пропозициональной логикой, от лат. propositio –
предложение или суждение. Оно рассматривает только отношения между целыми суждениями, не учитывая их
внутреннюю структуру. При этом суждения обычно обозначают заглавными буквами из
начала латинского алфавита: A, B, С... Они соединяются логическими союзами, которые
могут совпадать или не совпадать с грамматическими союзами естественной речи (в
проектировании компьютерных программ эти союзы называют «логическими вентилями»).
К союзам естественного происхождения относятся конъюнкция (союз «и», обозначают напр.
&); дизъюнкция (союз «или», обозначают
напр. +); строгая дизъюнкция (союз «либо-либо»,
обозначают напр. Å);
импликация (союз «если... – то...», логическое
следование, обозначают обычно ®); тождество
(эквивалентность) º; отрицание (логическая инверсия) ù. Используют знак выводимости Þ (как бы
признание или подтверждение состоятельности вывода), и др. Используют также две
специально изобретенные искусственные связки. Это 1) штрих Шеффера | – отрицание конъюнкции, символически пишется A | B º ù (A&B); 2) стрелка Пирса ¯ – отрицание дизъюнкции,
символически пишется A ¯ B º ù (A+B).
Свойства связок задаются или аксиомами, аналогично
математическим исчислениям, или т.н. таблицами истинности (предложены Л.
Витгенштейном). Такие таблицы нетрудно найти в интернете, мы приведем только
образец их построения на примере союза & («и»).
Легко видеть, что выражение A&B истинно только в том случае, когда
истинно каждое из входящих в него суждений. Подробнее: когда А истинно и В
ложно, то A&B ложно;
когда А ложно и В истинно, то A&B ложно; когда А ложно и В ложно, то A&B ложно; когда А истинно и В истинно,
то A&B истинно. Несложно оформить этот результат в виде таблицы. На основании
таких таблиц (для всех союзов) строится т.н. естественное выведение (особый способ
умозаключения в логике).
В случае с аксиомами, набор необходимых логических
функций строго определяется т.н. теоремой Поста. Вообще говоря, число союзов в
пропозициональных исчислениях может быть различным. Но доказано, что конъюнкция
с отрицанием и дизъюнкция с отрицанием образуют функционально полные системы
связок, т.е. – позволяют выразить любое сложное суждение. На этом основании и
вводятся указанные выше искусственные связки: каждая из них образует полную систему
в том же смысле.
По той же причине, всякую запись в логике высказываний
можно свести к т.н. совершенной нормальной форме. При этом различают 1) Совершенную
конъюнктивную нормальную форму (СКНФ): это конъюнкция взятых в скобки дизъюнкций;
и 2) Совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ): это дизъюнкция взятых в
скобки конъюнкций. В скобках СКНФ содержится перечень всех логических следствий из данного высказывания; в
скобках СДНФ содержится перечень всех возможных посылок данного высказывания. Эти формы записи применяются в методологическом
(метатеоретическом) анализе формализованных учений.
На основе свойств связок, в исчислении высказываний
выводятся т.н. общезначимые формулы, они же – законы логики. Это формы сложных высказываний, всегда истинные или,
наоборот, всегда ложные, при любой (но всегда неизменной в данном рассуждении)
содержательной интерпретации входящих в них буквенных символов. Их называют
также тавтологии, от греч. tauto – то же самое, и logos – слово. С важнейшими из этих
законов-тавтологий мы познакомили читателя уже в первой теме, под названием
«принципы логики»; также их и другие тавтологии он найдет в нашей недавней публикации
«Логические символы» на этом блоге.
Исчисление высказываний считается разрешимым, в том смысле, что в нем
можно за конечное число операций доказать или опровергнуть любую теорему. А на
его базе строится (и считается его расширением) исчисление предикатов (оно же –
функциональная логика), которое учитывает
также внутреннюю структуру суждений. При этом в символической логике субъекты суждений
называют термами, и обычно обозначают
строчными буквами из конца латинского алфавита: x, y и т.д.; при этом допускаются
постоянные и переменные термы. Используются также различные функторы, в т.ч.
кванторы.
Исчисление предикатов не является разрешимым в
указанном смысле, т.е. его истинные формулы не всегда можно свести к аксиомам,
порой требуется их фактическая проверка. Поэтому здесь они называются не
тавтологиями, а фактуальными
формулами. Важнейшие из них читатель также найдет в публикации «Логические
символы» на этом блоге. Смысл их достаточно прост и прозрачен, читатель не
затруднится понять его самостоятельно.
Все основные формулы функциональной логики относятся
к исчислению предикатов первого
порядка, т.е. такому, в котором квантифицируются только переменные. Но
могут быть исчисления второго порядка, которые допускают также
квантификацию над множествами; исчисления третьего порядка,
которые квантифицируют также множества множеств, и т.д. С порядками выше
первого работают математики в теории множеств и в ее применениях, а в обычной
логике эти порядки практически не используются.
Примечательно, что символика исчисления предикатов
не отражает связку в суждении, как таковую. Этим косвенно подтверждается, что с
формальной стороны все связки сводимы к атрибутированию (присущности), и нет
необходимости выделять в особые группы релятивные и экзистенциальные связки.
Однако традиция выделять строить экзистенциальную логику, и на ее почве – т.н.
формальную онтологию, отразилась и в идеях исчисления предикатов. А именно: в
истолковании кванторной записи $х
не как «некоторые х», а как «существуют такие х», причем понятию существования
придается оттенок реальности.
В результате, т.н. аксиома Баркан
à$х
Р(x)
®
$х
àР(x), вполне тривиальная при первом
истолковании квантора, при его «экзистенциальной» трактовке превращается в шизофренический
парадокс. Согласно ей
(в такой трактовке $х),
из утверждения, что некоторые марсиане – зеленые, якобы можно заключить, что
марсиане существуют, и некоторые из них – зеленые. Еще разительный выглядит при
этом другая аксиома стандартного исчисления предикатов – т.н. закон
экзистенциального обобщения P(a) Þ $х Р(x). При трактовке $ как реального существования, из этого закона можно вывести,
напр., убийственное противоречие «Существует предмет, который не существует» (когда
P означает «не
существует такого»).
Ошибки тут вполне очевидны и многократно подвергались
научной критике. Нетрудно понять, в частности, что существование – вообще не
квантор, т.е. не количественная характеристика суждения, и что не дело
формальной логики судить о содержании реальности, в которой существование
явлений всегда зависит от конкретных обстоятельств. Тем не менее, трактовка
записи $х как «существуют такие х» была
принята самими создателями исчисления предикатов (Г. Фреге и Б. Расселом),
и остается в символической логике преобладающей по сию пору. Как мы уже
отмечали, причина этого лежит в предвзятых мировоззренческих установках.
(Подробнее читатель может ознакомиться с данным
вопросом по двум нашим публикациям и по библиографии к ним. Это статьи: ”Бытие”
Парменида и логика существования // Философия науки, 2007, № 1, с. 3–15; Философские
истоки формальной онтологии // Вестник Красноярского гос. аграрного
университета, 2007. № 6, с. 276–282. Обе статьи сейчас можно найти в интернете).
Последний пункт данной темы вплотную подвел нас к теме
следующей: ведь в основе умозаключений лежат именно формы сложных суждений.
Комментариев нет:
Отправить комментарий