Логика, 6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

1. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Здесь мы имеем в виду традиционное понимание индукции (греч. «наведение»), т.е. умозаключения от частного знания к более общему знанию. В основе такого умозаключения лежит перечисление нескольких предметов со сходными свойствами, и перенесение этих свойств на все предметы того же вида. Напомним: в англоязычной логике индуктивным называют всякое вероятностное умозаключение, включая, в частности,  умозаключения по аналогии. Дедукция достоверна, но фактически не дает принципиально нового знания, хотя разворачивает старое, что важно для практики. В отличие от нее, умозаключение по индукции дает новое знание, но в общем случае не является достоверным. Напр., кто-то из своего ограниченного опыта может заключить, что все химически элементарные вещества при комнатной температуре являются либо твердыми телами, либо газами; однако ртуть при тех же температурах – жидкая.

Вывод по индукции бывает и достоверным, но только в двух особенных случаях:

1) т.н. полная индукция, когда в посылках перечисляются свойства всех возможных на данной области предметов. Но это выполнимо только для обозримых множеств, напр., при анализе анкет сотрудников одного не очень большого предприятия; в науке подобная ситуация встречается редко. Разновидностью полной индукции является доказательство по случаям. Фактически мы его уже рассматривали в конце темы 4, как т.н. рассмотрение по случаям; т.е., оно может быть представлено и как вид дедуктивного умозаключения.

2) т.н. математическая индукция. Она опирается на единообразие свойств чисел натурального ряда, и применяется ограниченно, главным образом – в самой математике. Ее символическая запись: P(0) @ "n [P(n) ® P(n+1)] Þ P(m). Это формула исчисления предикатов, и может рассматриваться как дедуктивное умозаключение. Фактически то же относится к полной индукции в целом: она превращается в силлогизм, если явно ввести посылку вроде «Все предметы данной области рассмотрены». Можно сказать, что достоверные умозаключения по индукции сводятся к формам дедуктивных умозаключений.

Однако сама индукция как таковая, т.е. – неполная индукция, имеет градации по степени достоверности вывода, в зависимости от применяемых интеллектуальных средств. Тут можно выделить четыре уровня:

1) популярная индукция, т.е. индукция через заведомо неполное перечисление, при котором не обнаружился контрпример. Допустим, для проверки на всхожесть семян из одной пачки, наудачу берут из нее и высеивают несколько семян, и при удаче заключают, что все семена в пачке всхожие. Типичная ошибка такой индукции – поспешное обобщение. Напр., долго считалось, что все лебеди белые, но  в 1606 г. в Австралии были открыты черные лебеди. Популярная индукция лежит в основе многих распространенных заблуждений и суеверий. Известно, что подбор «подходящих» примеров позволяет «доказать» всё что угодно. Но люди склонны верить тому, что им нравится, или – что принято большинством, и зачастую некритически принимают подобные «доказательства».

Даже популярную индукцию можно усовершенствовать целенаправленным поиском контрпримеров (еще в XVII в. так советовал поступать английский философ Ф. Бэкон). Напр. – найти в пачке и проверить на всхожесть также внешне подозрительные семена, и в результате точнее оценить ожидаемый от весеннего сева эффект. Развивая этот подход, получим

2) индукцию с анализом и отбором фактов. В нашем примере, надо рассортировать семена по разным признакам, предположительно значимым для всхожести, и высеять на проверку пропорциональное число из каждой получившейся группы. В научной статистике такой анализ и отбор является необходимым условием осуществления правильно выборки, без которой результат утрачивает научное значение и становится ненадежным. Главным затруднением при этом оказывается установление правильных критериев отбора; но тут уже в действие вступают содержательные, а не собственно логические соображения.

3) индукция с обоснованием заключения с разных позиций. Так, знаменитые биологи Э. Геккель и А.Н. Северцов использовали в обосновании своих заключений метод тройной индукции: с позиций сравнительной анатомии, с позиций эволюционной эмбриологии и с позиций палеонтологии. Подобным образом была построена и теория естественного отбора Ч. Дарвина, что обеспечило ей высокий авторитет в науке (хотя она, заметим попутно, не лишена существенных недостатков). Оба указанных приема усиления достоверности индукции могут применяться совместно. Кроме того, применяется

4) научная индукция – такая неполная индукция, в которой перечисление сходных случаев дополняется общими соображениям о неслучайности их сходства. Напр., эмпирический вывод об электропроводности металлических сплавов подкрепляется общим соображением, что процесс сплавления не изменяет свойство металлов иметь свободные электроны. Следовательно, можно надеяться на подобное свойство для всех металлических сплавов, в т.ч. – и будущих, число которых не ограничено. Но тут, как видим, уже включается некоторый момент дедукции

Индукция является естественной формой обобщения опыта; поэтому она активно разрабатывалась вместе с бурным развитием эмпирического познания мира, начиная с Научной революции XVI–XVII веков. Особенно большой вклад в ее разработку внесли английские мыслители Ф. Бэкон, Д. Гершель и Д.Ст. Милль. Правда, еще в XVIII в. философ (тоже английский) Д. Юм раскритиковал наивный индуктивизм в науке. Тем не менее, во 2-й половине XIX в. известный немецкий биолог Э. Геккель пытался обосновать «всеиндуктивизм». Но в XX в. английский философ К. Поппер выступил, наоборот, с позиции крайнего антииндуктивизма; однако эти крайние позиции натолкнулись на существенные затруднения. Диалектическая методология и здравый смысл всегда выступали за сочетание индукции и дедукции, как ведущих типов мышления, соответственно, в эмпирическом и в теоретическом познании, и за союз обоих типов познания.

2. МЕТОДЫ УСТАНОВЛЕНИЯ ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ

Еще Ф. Бэкон задумался о разработке таких приемов на основе умозаключений по индукции, а в XIX в. Дж. Ст. Милль выдел пять основных методов этого рода. Нельзя сказать, что они часто употребляются в практике, но в сложных случаях могут понадобиться. Поэтому с ними стоит ознакомиться, не забывая, конечно, что такие заключения о причинах явлений имеют вероятностный характер, как индукция в целом.

1) Метод единственного сходства: если только одно обстоятельство предшествует данному явлению или сопровождает его, то оно и есть причина данного явления. Напр., период собственных колебаний маятника при любых его весе, форме, материале, расположении и т.д. зависит, как показал Г. Галилей, только от расстояния от точки подвеса маятника до его центра тяжести. Чтобы при этом методе результат был достоверным, надо подбирать или создавать разнообразные ситуации, иначе можно оказаться «жертвой случайности». Напр., присутствие одного и того же человека при нескольких возгораниях может быть случайным совпадением или продуктом провокации. Учитывая такие возможности, еще древнеримские юристы сформулировали принцип «post hoc nihil propter hoc» – «после этого еще не значит вследствие этого».

2) Метод единственного различия: если нет события, когда нет данного обстоятельства, то оно и является причиной этого события. Так была установлена, напр., причина нервного заболевания «бери-бери» в некоторых странах Юго-Восточной и Южной Азии. Ею оказался отказ от потребления неочищенного риса, в оболочке которого содержится витамин В₁. В соседних странах, где потребляли в пищу также неочищенный рис, не наблюдалось такого заболевания (дефицита витамина В₁).

3) Объединенный метод сходства и различия: причиной считается то обстоятельство, которое всегда присутствует при наличии данного явления или события, и всегда отсутствует, когда его нет. Так было, напр., однажды выяснено, что причиной ускоренного износа деталей машины стала бракованная партия технической смазки. Метод сильный, но сложен в применении: тут желательно использовать табличную запись для учета, обзора и полного анализа всех случаев.

4) Метод сопутствующих изменений: если изменение одного явления всегда вызывает изменение другого явления, то первое явление есть причина второго. Этот метод позволяет учитывать не только наличие или отсутствие факторов, но также их интенсивность. Напр., так выясняется, что ширина зазоров между рельсами железной дороги изменяется обратно пропорционально температуре, а сила тяготения – обратно пропорционально квадрату расстояния между телами (Р. Гук, И. Ньютон).

5) Метод остатков: если все рассмотренные обстоятельства не объясняют данное явление, то его вероятная причина – та часть обстоятельств, которая не была рассмотрена (может быть, ввиду каких-то затруднений). Этот метод наиболее слабый: ведь остаток обстоятельств зачастую страдает недостаточной определенностью, так что конкретная причина и механизм ее действия часто остаются неясными. Напр., известно, что данный человек не пришел на работу не из-за болезни, не по семейным обстоятельствам и не вследствие его задержания полицией. Но дальше остается только догадываться, что причина его неявки имеет криминальный характер, и – какой именно.

Все же эта схема помогает при выработке рациональных гипотез. По ней было первоначально открыто нейтрино, как гипотетическая частица, уносящая часть энергии в процессе бета-распада нейтронов, без предположения о которой нарушался бы закон сохранения энергии. Но физикам пришлось еще основательно теоретически поработать и поставить немало сложных экспериментов, чтобы окончательно убедиться в объективном существовании нейтрино и выяснить его разновидности.

Зато тот же метод, причем – «в чистом виде», т.е. без последующих исследований, нередко используется в политике для «обоснования» клеветнических обвинений в адрес противника или предполагаемой жертвы. В частности, его представляет знаменитое «highly likely» (англ. «весьма вероятно»), запущенное в оборот с легкой руки британского премьер-министра Терезы Мэй в 2018 г. Так Мэй оценила предположение об отравлении Россией в Лондоне бывшего шпиона Сергея Скрипаля, доныне не имеющее иных доказательств; а теперь highly likely уже широко гуляет по стогам русофобской политики. Удобно ведь: можно не напрягаться в «обоснованиях»!

Желающие подробнее ознакомиться с индуктивными методами установления причинной связи могут найти их разбор в разных изданиях, напр.: Брюшинкин В.Н. Практический курс логики для гуманитариев. М., 1994. С. 315–327. А мы перейдем к рассмотрению умозаключений по аналогии.

3. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ

Греч. analogia означает соответствие, сходство. В логике так называется умозаключение путем переноса свойств с более познанного предмета на менее познанный. В отличие от индукции и дедукции, уровень общности знания здесь не меняется, выведение идет как бы «от частного знания к частному». В литературе умозаключения подобного типа иногда называют традуктивными, от лат. traductio — перемещение. Уровень их достоверности еще ниже, чем у индукции, в методологии научного познания и в юридической практике даже принят принцип «аналогия не аргумент». В самом деле, нередко встречаются ложные аналогии,  с нулевой вероятностью, напр. когда от внешней привлекательности человека заключают к его нравственным качествам. «Оправдать» подобную аналогию может только удача, но все же она часто встречается.

Тем не менее, умозаключения по аналогии применяются в исследованиях – там, где нет возможности использовать более надежные формы познания. Кроме того, аналогия часто становится источником плодотворных гипотез. Такую их роль в развитии физики подчеркивали, напр., Д. Дидро и А. Эйнштейн, а в технике многие изобретения сделаны и делаются по аналогии с живой природой. Так, поверхностная структура кожи дельфина натолкнула конструкторов кораблей и самолетов на создание обшивки, значительно улучшившей скоростные качества судов по сравнению с просто гладкой обшивкой. На аналогии основано моделирование – важный метод исследования, прогнозирования и проектирования; но при этом применяются специальные методы «доработки» аналогии, напр. теория физического сходства. Однако моделирование является уже предметом не собственно логики, а методологии научного познания, и мы его тут не рассматриваем.

Посылки умозаключения в данном случае называются основаниями аналогии. Для повышения вероятности заключения, таких оснований должно быть как можно больше, и они должны охватывать предмет или явление как можно разносторонне. В науке аналогия должна, кроме того, строиться на фиксации существенных и неслучайных сходств между явлениями, а переносимый признак должен принадлежать к тому же типу, что и основания аналогии. Напр., от уровня приспособленности человека к социальным отношениям нельзя заключать к уровню его деловых, научных и вообще интеллектуальных способностей (это достаточно распространенная и социально вредная ошибка).

И все же, при всех стараниях повысить вероятность правильного заключения по аналогии, остается верной старая пословица «всякое сравнение хромает». Умозаключение в форме аналогии бывает достоверным, лишь когда заранее доказано изоморфное отношение между свойствами сравниваемых предметов; но тут аналогия фактически сводится к силлогизму. Напр., известно, что количество солдат во всех взводах данной роты одинаково, и в первом взводе 18 солдат; тогда вопрос о числе солдат в третьем взводе решается автоматически. То же относится к т.н. строгой аналогии, в которой переносимый признак необходимо следует из основания. Напр., проказа четко диагностируется по ряду признаков, как через аналогию с их наличием у других прокаженных, так и дедуктивно.

Различают рациональную аналогию, которая построена на отношениях понятий, и разные типы чувственно-образной аналогии. Выделяются, напр. фигуральная аналогия (пример из творчества Козьмы Пруткова: «Специалист подобен флюсу: полнота его одностороння»), эмпатия (греч. «вчувствование»: человек может настроиться на сопереживание другому человеку, чему помогает, напр., подражание его позам и действиям); символическая аналогия – представление предмета в поэтических образах (пряжка как цветок, раствор – «взвешенная неразбериха» и т.п.); фантастическая аналогия – напр., уподобление животных людям в баснях и в других художественных произведениях). Два последних вида нередко применяются для стимулирования изобретательской деятельности, а фантастическая аналогия используется отчасти в интеллектуальных экспериментах. Напр., один из таких экспериментов А. Эйнштейна основан на наблюдении одного человека за ходом времени в разных системах отсчета, что в реальности невозможно. Но в целом научная аналогия стремится к рациональным структурам.

Различают два вида рациональной аналогии:

1. Аналогия свойств, формула которой: если предметы А и В обладает свойствами a, b, c, ..., m, и предмет А обладает также свойством n, то предмет В тоже обладает свойством n. Напр., взаимно подобная геологическая история различных местностей нередко сказывается в подобном же наборе полезных ископаемых, что существенно облегчает их поиск. Разновидностями такой аналогии с возможностью применения численных методов считаются экстраполяция (от лат. extra – сверх и polio – приглаживаю) и интерполяция (от лат. inter – внутрь и т.д.) Допустим, ребенок с рождения за 7 лет вырос от 50 см до 110 см; тогда по интерполяции получим его рост в возрасте 3,5 года около 80 см, а по экстраполяции получим его рост еще через год около 118 см. Эти методы нередко применяются в механике, в технике и в социально-статистических исследованиях, конечно, с осознанием неизбежной приблизительности и невысокой надежности результатов. Но существует большой и важный класс нелинейных, «скачкообразных» процессов, для которых применение интерполяции и экстраполяции в принципе неправомерно. Так, по достижении юношеского возраста экстраполяция по росту становится абсолютно бессмысленной.

2. Аналогия отношений, формула которой: если А подобно С, и В подобно D, и между А и В есть отношение r, то между С и D тоже есть отношение r. Напр., буржуазная форма собственности подобна ее т.н. германской форме, а социалистическая  форма собственности подобна ее т.н. азиатской форме. Отсюда следует ожидать смены буржуазной формы общества его социалистической формой, что и совершилось в действительности. Однако сама эта смена оказалась неустойчивой, что говорит о ненадежности такой аналогии. И в научной методологии признано, что аналогия отношений еще менее достоверна, чем аналогия свойств, т.к. слабее связана с природой сравниваемых предметов. Поэтому она чаще применяется не в науке, а художественной литературе, в виде метафор: человек в обществе отчуждения как подобие одинокого волка по Г. Гессе, и т.п.

Логика, 5. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Логика, 5. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Читатель может ожидать, что в этой теме мы будем рассматривать умозаключения на почве символического исчисления предикатов. Но те из них, которые обычно применяются в построении общенаучных текстов, сводятся к фактуальным формулам, и уже представлены нами в теме 3 и в публикации «Логическая символика» на этом блоге. Более сложные схемы фигурируют только в формулах математической логики и в текстах некоторых математизированных дисциплин. А в общенаучных рассуждениях тут обычно применяют средства, разработанные традиционной логикой. Правда, они не всегда автоматически дают правильный результат, приходится соблюдать некоторые правила; тем не менее, для большинства случаев они удобнее в применении. Их мы и представим в данной теме. Причем с некоторыми из них читатель уже фактически знаком по темам предыдущим.

1. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Непосредственными называются дедуктивные умозаключения логики предикатов, в которых имеется только одна явная посылка (речь идет о простых суждениях). К ним относятся 1) умозаключения по логическому квадрату, 2) превращение, 3) обращение и 4) противопоставление предикату. При этом первый вид уже фактически рассмотрен нами в теме 3, как отношения суждений в логическом квадрате. Только ради напоминания приведем один пример: из посылки «Некоторые животные не млекопитающие» можно непосредственно сделать вывод «Неверно, что все животные млекопитающие».

Превращение – непосредственное умозаключение, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества. При этом предикат заключения отрицает предикат посылки: (SaP) ® (SùаùP). Напр., из посылки «Некоторые части речи – глаголы» непосредственно заключаем «Некоторые части речи не есть неглаголы». Смысл этого умозаключения сводится к закону снятия двойного отрицания; поэтому превращению подлежат все типы суждений языка AIOE.

Обращение – непосредственное умозаключение, при котором субъект и предикат меняются местами при сохранении качества суждения: (SаP) ® (PаS). Обращение не распространяется только на тип суждений О в языке AIOE. Однако обращение суждений с пустым предикатом может привести, в конечном счете, к ложному заключению. Напр., из суждения «Ни один человек не открыл философский камень» по обращению следует «Ни один открывший философский камень не человек», откуда по превращению вытекает странное утверждение «Некоторый не-человек открыл философский камень».

Кроме того, обращение бывает полное, когда сохраняется также количественная характеристика суждения, или – обращение с ограничением, когда из общей посылки выводится частное заключение. Это завис от т.н. распределённости терминов в исходном суждении. С формальной стороны, учение о распределённости терминов входит в состав учения о суждении. Но реальная потребность в нем возникает только на данном этапе освоения курса; поэтому сейчас мы его и рассмотрим.

Термин считается распределённым в данном суждении, если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью из него исключается. Напр., в суждении «Все лебеди – птицы» субъект распределён, а предикат не распределён. В суждении «Некоторые инженеры – авиастроители» оба термина не распределены. А в суждении «Все люди в норме разумны» фактически распределены оба термина, т.к. нам пока не известны другие разумные существа, кроме людей; но тут, как видим, окончательное решение зависит от контекста. Всегда распределены оба термина только в общеотрицательном суждении (тип Е в языке AIOE), напр. «Ни один человек не птица».

Обращение бывает полным, когда оба термина в нем (субъект и предикат) распределены или не распределены. Так обращаются суждения типа Е и I. Обращение происходит с ограничением, когда один из его терминов распределен, а другой – нет. Так суждения типа А обращаются в суждения типа I. Напр., «Все лебеди – птицы» в «Некоторые птицы – лебеди». Заметим, что то же заключение можно сделать по логическому квадрату.

Противопоставление предикату – непосредственное умозаключение, при котором субъект и предикат меняются местами, причем изменяется качество предиката и суждения в целом, по схеме (SаP) ® (ùPùаS). Это умозаключение можно рассматривать как превращение и обращение, проведенные одно вслед за другим. По его формуле получаются выводы типа: A®E, E®I, O®I. Из суждений типа I не получается необходимый вывод по противопоставлению. Напр, из посылки «Некоторые студенты – спортсмены» нельзя сделать по этой схеме основательный вывод «Некоторые не спортсмены не являются студентами» (хотя в таком утверждении нет фактической ошибки).

При рассмотрении непосредственных умозаключений, и в других задачах логики предикатов, помогают т.н. круги (диаграммы) Эйлера. Это графические изображения соотношения объемов субъекта и предиката суждения, в которых наглядно представляются связь и распределённость терминов в посылках. Есть еще более полные графические схемы того же рода – диаграммы Д. Венна, но к ним редко приходится прибегать в практической логике. Образцы тех и других диаграмм обильно представлены в сети интернет; некоторые из них мы размещаем на данном блоге отдельной публикацией. Материал этот, на наш взгляд, доступен для самостоятельного освоения; но если возникнут вопросы, пишите в комментариях, автор готов дать пояснения.

2. СИЛЛОГИЗМ, ЕГО ФОРМЫ И ПРАВИЛА

Греч. syllogismos означает умозаключение вообще, и не случайно, т.к. это самая распространенная на практике форма умозаключений. Конкретнее, силлогизмом называется вывод из двух или более посылок, связанных некоторыми общими для них (т.н. средними) терминами. Заключение здесь получается как связывание остальных (т.н. крайних) терминов через удаление среднего термина. Напр., даны два суждения: «Все киты млекопитающие» и «Все млекопитающие дышат легкими». Здесь средний термин «млекопитающие», и такая структура позволяет получить достоверный результат «Все киты дышат легкими».

Аксиома силлогизма гласит: признак признака предмета есть признак самого предмета. Структура простого категорического (или ассерторического, т.е. немодального) силлогизма включает три суждения:

       М – Р  ...  большая посылка (лат. maior): та, которая содержит предикат заключения Р;

       S – М  ...  меньшая посылка (лат. minor): та, которая содержит субъект заключения S;

       S – P  ...  само заключение (лат. conclusio);

буквой М здесь обозначается средний термин (от лат. medium – средний).

В простом категорическом силлогизме может быть только три термина. Частая ошибка – «учетверение терминов», напр.: «Металлы – химические элементы, бронза – металл, следовательно, бронза есть химический элемент». Заключение ошибочно, т.к. бронза – сплав меди напр. с оловом. А корень этой ошибки заключается в неодинаковом значении слова «металл» в посылках: сначала это химическая категория, потом – техническое понятие. По существу мы здесь имеем т.н. эквивокацию, как нарушение принципа тождества: в результате ее, в силлогизме оказывается фактически четыре термина.

По расположению среднего термина М в посылках (играет ли он роль субъекта или роль предиката) различают четыре фигуры простого категорического силлогизма. Заключение во всех фигурах имеет вид S – P, а термины в посылках изменяют свое место и расположены следующим образом:

       1-я фигура:  М – Р,  S—M

       2-я фигура:  P – M,  S—M

       3-я фигура:  М – Р,  M—S

       4-я фигура:  P – M,  M—S

Для наглядности применяют графическое изображение фигур силлогизма; мы помещаем его рядом на данном блоге. Поясним только, что в этих схемах верхняя горизонталь всегда представляет большую, нижняя – меньшую посылку, а линия, соединяющая горизонтали, соединяет и общий для посылок (средний) термин M. Первая фигура обычно используется для выведения частного знания из общего; таким образом, она как бы непосредственно представляет принцип дедукции, и на практике является наиболее распространенной. Пример: «Всё живое растёт; клетка – живое; следовательно,  клетка растёт».

Вторая фигура удобна для опровержения утвердительных суждений, напр.: «Всякое растение содержит клетчатку; ни одна гидра не содержит клетчатку; следовательно, гидра не растение». Третья фигура удобна для опровержения общих суждений, напр.: «Ртуть – не твердое тело; но ртуть – металл; следовательно, не все металлы являются твердыми телами». Четвертая фигура считается искусственной и редко употребляется, но и по ней можно привести пример: «Все хирурги – врачи; все врачи имеют высшее образование; следовательно, некоторые люди с высшим образованием являются хирургами».

В каждой фигуре силлогизма выделяются различные модусы. Это разновидности той же фигуры с учетом количественных (общая или частная) и качественных (утвердительная или отрицательная) характеристик каждой посылки и заключения. Формальная комбинация этих функторов дает 256 модусов, по 64 в каждой из четырех фигур. Но правильными (всегда выполнимыми) являются только 24 модуса, по 6 в каждой фигуре. При этом 5 из них – т.н. ослабленные модусы, в которых заключение формулируется как частное суждение, хотя те же посылки дают и общее заключение. Таков напр. модус EAO второй фигуры: он получается просто как вывод по логическому квадрату из модуса EAE: если все S не-P, то и некоторые S не-P. А если отбросить «ослабленные», то правильных модусов получается всего 19: по 4 в первой и второй фигурах, 6 в третьей и 5 в четвертой фигуре. Таким образом, из 256 формально возможных модусов правильные составляют всего 7,42%.

Естественно возникает вопрос, как отбирать правильные модусы из большого числа неправильных. В Средние века правильные модусы наделяли условными названиями на основе языка AIOE: придумывали латинские слова с тремя гласными, последовательность которых отражала характер посылок и заключения, и заучивали эти слова по фигурам наизусть. Напр., в первой фигуре – модусы Barbara, Darii, Ferio и др., во второй фигуре – модус Cesare и др. Согласные в этих искусственных словах тоже значимы: они показывают, к какому модусу первой фигуры и каким способом сводится данный моду. Это хорошие упражнения для развития памяти и закрепления знаний; однако состоятельность модуса можно выяснить и без таких упражнений.

Для этого надо, во-первых, знать правила посылок. Для категорического силлогизма они таковы:

1. Должна быть хотя бы одна общая посылка (из двух частных вывода нет).

2. Если хотя бы одна из посылок частная, то заключение должно быть тоже частным.

3. Должна быть хотя бы одна утвердительная посылка (из двух отрицательных вывода нет).

4. Число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

Мы сразу добавим еще правила посылок для стандартного модального силлогизма:

5. Должна быть хотя бы одна посылка о необходимости (из посылок о возможности вывода нет).

6. Если хотя бы одна из посылок – о возможности, то заключение должно быть о возможности.

Учитывая те и другие пункты, можно сформулировать обобщенные правили посылок: 1) нет вывода при обеих слабых посылках (т.е. частных, или отрицательных, или о возможности); 2) качество, количество и модальность заключения определяются наислабейшими посылками; поэтому утвердительное заключение может быть только при всех утвердительных посылках, общее – только при всех общих посылках, заключение о необходимости – только если нет посылок о возможности. Эти обобщенные правила распространяются не только на простые, но на всякие силлогизмы.

Во-вторых, надо знать правила терминов. Для простого силлогизма они таковы:

1.В силлогизме должно быть (напомним) ровно три термина.

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.

3. Термин, не распределённый в посылке, не должен быть распределён в заключении.

Примеры нарушения этих правил в простых категорических силлогизмах: 1) Многие растения (М) окрашены хлорофиллом (Р); Грибы (S) – растения (М); следовательно, Грибы (S) окрашены хлорофиллом (Р). Здесь термин M «растения» не распределен ни в одной из посылок, поэтому правильного модуса не получается. 2) За полярным кругом бывают белые ночи; Ленинградская область не находится за полярным кругом; следовательно, В Ленинградской области не бывает белых ночей. Вывод ложен, т.к. термин P «Ленинградская область» распределён в заключении, а в посылках не распределён.

Еще проще решать силлогизмы с помощью кругов Эйлера или (в более сложных или ответственных случаях) с помощью диаграмм Д. Венна. Процесс этот вполне нагляден, надо только внимательно строить диаграммы; мы приводим пару примеров для разных модусов простого категорического силлогизма.

3. СОКРАЩЁННЫЕ И СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ

Энтимема (от греч «в уме») – сокращённый силлогизм, в котором опущено заключение или одна из посылок. Напр.: «Все образованные люди учились, значит, и Сократ учился» (опущена посылка «Сократ – образованный человек»). Или: «Все пластмассы плавятся при нагревании, а полиэтилен – пластмасса» (опущено заключение «Полиэтилен плавится при нагревании»).

Полисиллогизм (сложный силлогизм) это цепь из двух или более силлогизмов, в которой заключение предыдущего силлогизма становится посылкой последующего. Если оно превращается в большую посылку, этот полисиллогизм называется прогрессивным, если в меньшую – регрессивным. Пример прогрессивного полисиллогизма из трех простых силлогизмов: «Всё, что развивает ум, полезно будущему экономисту; Изучение логики развивает ум; Изучение логики полезно будущему экономисту (первое заключение; добавляются посылки:) Изучение логики требует знаний о силлогизмах; Знание о силлогизмах полезно будущему экономисту (второе заключение; добавляются еще посылки:) Полисиллогизм есть форма силлогизма; Знание о полисиллогизмах полезно будущему экономисту (последнее заключение)».

Сами полисиллогизмы чаще всего применяются в сокращённой форме, в виде т.н. соритов (от греч. sorites – кучеобразный). Они получаются из полисиллогизма путем выбрасывания заключения предшествующего силлогизма и одной из посылок каждого последующего силлогизма. Если опущена большая посылка, сорит называется прогрессивным, или гоклениевским; если меньшая – регрессивным, или аристотелевским. Пример регрессивного сорита: «Все экономисты – специалисты; Все специалисты образованы; Все образованные люди имеют диплом; следовательно, все экономисты имеют диплом». В сорите каждый термин, кроме терминов заключения, входит в посылки два раза: один раз как субъект, и один раз как предикат.

Эпихейрема – сложносокращённый силлогизм, обе посылки которого представляют собой энтимемы (сокращённые простые силлогизмы). Напр: «Дыхание необходимо для жизни, т.к. без кислорода клетки тела не вырабатывают энергию. Деятельность легких необходима для дыхания, т.к. она насыщает кровь кислородом. Следовательно, деятельность легких необходима для жизни».

Схемы всех сложных силлогизмов можно представить как тавтологии исчисления высказываний, где в качестве предложений (А, В, С...) выступают целые силлогизмы. На практике (по совету Р. Декарта), во избежание путаницы и неясностей, в научных текстах разделяют сложные умозаключения на простые, но избегают энтимем и других сокращений в умозаключениях.

Схемы к т. 5. КРУГИ И ФИГУРЫ

Круги Эйлера



Диаграммы Д. Венна


Фигуры простого категорического силлогизма

Логика, 4. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1. ПОНЯТИЕ, СТРУКТУРА И ТИПЫ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

В данной теме мы начинаем рассматривать умозаключение. Так называется процесс получения новых суждений, которые с необходимостью или с некоторой вероятностью выводятся из ранее известных суждений. При этом исходные суждения называются посылками умозаключения, и соединяются конъюнкцией (союз «и», знак &). Сами посылки могут быть как простыми, так и сложными суждениями. Вновь полученное суждение называется заключением, или следствием из этих посылок. Оно возникает благодаря логической связи между посылками; виды этой связи разнообразны. Переход от посылок к следствию называется выведением.

Если посылки истинны и умозаключение построено правильно, то следствие, вообще говоря, не может быть ложным. Однако следствия вероятностных умозаключений в конкретных случаях могут оказаться ложными. Напр., если весной в наших широтах снег обычно тает, то можно сделать вероятностный вывод, что и 1-го апреля снег на улицах будет таять. Статистически такое заключение оправдано, однако в текущем году в какой-то местности сутки 1-го апреля могут оказаться морозными, а может быть, снега на улицах к тому времени уже не останется.

Истинное следствие порой случайно возникает при ложных посылках или при несоблюдении правил вывода. Если примем, что все не деревянные здания являются кирпичными, и констатируем, что наше здание не деревянное, то получим заключение, что оно кирпичное. В определенной ситуации такое заключение может соответствовать действительности, но его выведение не имеет доказательной силы, т.к. первая посылка является ложной. Другой пример: Николай Сличенко – цыган по национальности, а цыгане хорошо поют; поэтому (де) Н. Сличенко хорошо поёт. Он действительно хороший певец, но вывод неоснователен. Ведь вторая посылка в этом умозаключении фактически означает «многие (но не все) цыгане хорошо поют», и каждый отдельный цыган не обязательно попадает в это число. Рассуждая по таким «образцам», мы бы часто оказывались в заблуждении. Поэтому в науке и практике важно учитывать не только фактическую истинность заключения, но и правильность вывода.

Умозаключения делят на три типа: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии. Сначала рассмотрим первый из этих типов.

Лат deductio буквально означает выведение. В традиционной логике, восходящей к Аристотелю, дедукцией называется умозаключение от общего знания к частному. Напр., если верно, что все металлы электропроводны, то и любой металл, напр. ванадий, электропроводен. Такой вывод, если в нем нет ошибки, носит достоверный характер: мы уверены в электропроводности ванадия, даже если никогда сами ее не проверяли. Все остальные, недедуктивные умозаключения при этом обозначаются как вероятностные, а иногда – как диалектические (напр., у Аристотеля).

Но в современной символической логике, под влиянием английского менталитета, дедуктивным называют всякое достоверное умозаключение, не обязательно соблюдающее принцип «от общего к частному». Именно в этом смысле мастером дедукции считается известный персонаж английской литературы – сыщик Шерлок Холмс. По форме, его умозаключения часто носят нестрогий характер, но «уточняются» благодаря необычайной наблюдательности, сообразительности, проницательности и догадливости. Тут фактически действует диалектический принцип конкретности истины, хотя и в виде обыденного здравого смысла.

Дедуктивные выводы можно рассматривать как сложные суждения; тогда, напр., тавтологии исчисления высказываний и истинные формулы исчисления предикатов выступают как схемы некоторых дедуктивных умозаключений. Далее мы рассмотрим наиболее популярные из этих форм.

2. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ В ЛОГИКЕ ПРОПОЗИЦИЙ

Это группа умозаключений, в которых логическая связь осуществляется через суждения, общие для двух посылок, а ведущую роль играют свойства пропозициональных связок (логических союзов). В учебниках логики эта группа не всегда выделяется особо, но обычно можно найти, напр. по оглавлению, характеристику каждого из далее рассмотренных видов умозаключений. Многие (но не все) из таких умозаключений являются законами логики высказываний (тавтологиями).

 1. Начнем с подгруппы условных умозаключений. Они строятся на свойствах импликации, которая обычно выражает объективную причинную обусловленность явлений. Чисто условными называются такие умозаключения, в которых обе посылки являются условными суждениями, по тавтологической схеме (А®В) & (В®С) Þ (А®С). Напр., если чрезмерно поднять цену на товар (А), люди перестанут его покупать (В); а если (В), то продавец разорится (С). Короче: если А, то С. Заметим, что выведение здесь и в других подобных случаях достигается через общий элемент в посылках (суждение В), который устраняется в заключении. Так сказать – через третье суждение (в свое время мы познакомимся с выведением через третий термин).

Условно-категорическими называются умозаключения, в которых одна из посылок содержит союз «если... то», а вторая полагается безусловно. Имеются две формы такого умозаключения, утвердительная и отрицательная. Первая называется modus ponens, и уже представлена в предыдущей теме, как принцип достаточного основания и как одно из основных правил вывода в логике высказываний; повторим его схему: (А®В) & А Þ В. Напр.: Если хочешь получить высшее образование (А), то должен освоить ряд учебных дисциплин (В). Но ты хочешь (А); значит, придется учить и те дисциплины, которые тебе сейчас не нравятся или непонятны.

Отрицательная форма называется modus tollens (лат. способ исключения): (А®В) & ùВ Þ ùА. Напр., из выполнения всех пунктов учебной программы следует автоматический зачет по данной дисциплине; но зачет не получен; следовательно, что-то не было выполнено (конечно, формальные схемы не учитывают форс-мажор и личностные отношения).

2. Разделительно-категорические умозаключения построены на свойствах дизъюнкции, которая содержится в первой посылке, тогда как вторая посылка – безусловное суждение. Здесь также два модуса. Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) имеет схему (АÅВ) & А Þ ùВ. Он вполне применим только к строгой дизъюнкции (союз «либо-либо», у нас символ Å). Напр., в середине ХХ в. экономика могла быть либо социалистической, либо буржуазной; экономика России была социалистической; следовательно, она была не буржуазной. Ошибки тут возникают из-за смешивания строгой дизъюнкции с «мягкой» дизъюнкцией (союз «или/и», у нас символ +). Напр., из того, что данная страна сельскохозяйственная, еще не следует, что в ней не развивается промышленность.

 Зато второй, отрицательно-утвердительный модус (modus tollendo ponens) применим при любом истолковании дизъюнкции. Его схема: (А+В) & ùВ Þ А. Напр., общественное хозяйство может регулироваться посредством рыночной или командно-административной системы; но возможно смешение того и другого типов регулирования. В частности, без государственного регулирования не обходится никакое современное общественное хозяйство.

3. Условно-разделительными, или лемматическими, называются умозаключения, у которых одна из посылок состоит из двух или нескольких условных суждений, а вторая посылка – дизъюнктивное суждение. По числу альтернатив в первой посылке такие умозаключения делятся на ди-, три- и полилеммы. Но чтобы понять их принципиальные свойства, достаточно рассмотреть дилемму и ее виды.

Конструктивная дилемма имеет, в общем случае, схему [(A®C)&(B®D)] & (A+B) Þ (C+D). Напр.: «Кот ученый всё бродит по цепи кругом. Пойдет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит»; следовательно, услышим или песню, или сказку, или даже то и другое. Частный случай предыдущего – простая конструктивная дилемма, когда альтернативы сходятся (DºC), и заключение получается однозначным. Ее схема [(A®C)&(B®C)] & (A+B) Þ C. Напр., в той же поэме Пушкина кот не молчит идя налево, и не молчит идя направо; следовательно, всегда есть что послушать.

Деструктивная дилемма имеет схему [(A®C)&(B®D)] & (ùA+ùB) Þ (ùC+ùD). И здесь встречается простой случай, когда альтернативы сходятся, а заключение однозначно. Общие схемы дилемм являются тавтологиями для нестрогой дизъюнкции, а в отмеченных «простых» случаях (с однозначными заключениями) – также для строгой дизъюнкции. А далее мы рассмотрим умозаключения, которые не сводятся к формулам исчисления высказываний, хотя свойства пропозициональных связок играют в них ведущую роль.

4. Разделительные умозаключения часто рассматривают совместно с лемматическими. Те и другие опираются на свойства дизъюнкции, однако схема разделительных умозаключений включает элементы исчисления предикатов, т.к. в ней представлены не целые высказывания, а субъекты и предикаты: (S есть P+Q+R...) & (P есть P₁+P₂) Þ (S есть P₁+P₂+Q+R...). Напр., всякий философ или монист, или дуалист, или плюралист; всякий монист – либо материалист, либо идеалист; следовательно, всякий философ или материалист, или идеалист, или плюралист. Разумеется, разделение можно ввести также для Q, R и т.д.; это технически усложняет выведение, но не вносит ничего принципиально нового.

5. Непрямые (косвенные) умозаключения – такие, которые получаются путем преобразования других умозаключений. Поэтому в их посылках могут фигурировать целые умозаключения и теории (системы суждений). Такие сложные посылки принято обозначать прописными буквами греч. алфавита Г, D и далее. Схемы косвенных умозаключений близки к уже рассмотренным, но в них импликация и знак выводимости могут заменять друг друга. Такие схемы служат повышению формальной строгости вывода, и чаще используются в математике и в других формализованных дисциплинах. Мы здесь рассмотрим их лишь факультативно.

Выделяют три вида непрямых умозаключений. Во-первых, правило введения импликации, оно же – «теорема о дедукции». Его схема: [(Г&А) Þ В] Þ [Г Þ (А®В)], где Г – некий ранее данный набор посылок (система аксиом, какая-то формула или целая теория), А – вновь присоединенное к этой системе суждение. Смысл этой схемы: в правильном рассуждении субъективная выводимость заключения отражает объективные причинно-следственные отношения. Напр., известна формула длины окружности (Г): L = pD, и дано (А): D = 2 см, откуда выводим (В) = 2p см. Тогда можно записать, что из D = 2 см следует (или: оно имплицирует) L » 6,28 см.

Во-вторых, это правило сведения к абсурду (лат. reductio ad absurdum), оно же – правило введения отрицания. Его схема: [(Г&А) Þ (В&ùВ)] Þ (Г Þ ùА). Смысл этой схемы: если введение в проверенную систему умозаключений Г нового суждения А приводит к появлению любых противоречий, то суждение А неверно. Напр., в стране установлены основы рыночной экономики (Г), но государство облагает предпринимателей непомерными налогами (А). Получается абсурд: предпринимательство В должно существовать, но не может существовать. На практике такое противоречие разрешается уходом капитала за рубеж или в теневую экономику, а в теории это означает, что налоговая политика (А) неправильна.

В-третьих, к непрямым умозаключениям относится т.н. рассмотрение по случаям (или: путем разбора возможных случаев). Схема его почти совпадает со схемой лемматического умозаключения, только импликация заменяется на выводимость, а вместо суждений в качестве посылок фигурируют целые умозаключения: [(ГÞC) & (DÞD)] & (Г+D) Þ (C+D). Часто такое умозаключение употребляется там, где надо выяснить справедливость некоторого утверждения для разных граничных условий. Напр., требуется определить т.н. полную (релятивистскую) массу, с одной стороны, для тел, обладающих массой покоя и, с другой стороны, – для частиц излучения. Для первого случая СТО А. Эйнштейна (Г) дает формулу (C): m = m_o/Ö(1–v²/C²). Пытаясь применить ее к фотонам, у которых m_o = 0 и v = С, получим неопределенный результат 0/0. Тогда для второго случая используем теорию (D): формулу М. Планка E = hn, совместно с формулой Эйнштейна E=mC². Из них выводится (D): m = hn/C². Таким образом, получается набор формул полной массы объекта для обоих случаев.

Рассмотрение по случаям может трактоваться и как индуктивное умозаключение путем полного перебора возможностей (см. ниже). Но, поскольку его заключение носит необходимый характер, оно законно включается и в настоящую тему. В следующей теме продолжим рассмотрение дедуктивных умозаключений, но уже не почве исчисления предикатов и родственных ему традиционных учений.