Логика, 4. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1. ПОНЯТИЕ, СТРУКТУРА И ТИПЫ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

В данной теме мы начинаем рассматривать умозаключение. Так называется процесс получения новых суждений, которые с необходимостью или с некоторой вероятностью выводятся из ранее известных суждений. При этом исходные суждения называются посылками умозаключения, и соединяются конъюнкцией (союз «и», знак &). Сами посылки могут быть как простыми, так и сложными суждениями. Вновь полученное суждение называется заключением, или следствием из этих посылок. Оно возникает благодаря логической связи между посылками; виды этой связи разнообразны. Переход от посылок к следствию называется выведением.

Если посылки истинны и умозаключение построено правильно, то следствие, вообще говоря, не может быть ложным. Однако следствия вероятностных умозаключений в конкретных случаях могут оказаться ложными. Напр., если весной в наших широтах снег обычно тает, то можно сделать вероятностный вывод, что и 1-го апреля снег на улицах будет таять. Статистически такое заключение оправдано, однако в текущем году в какой-то местности сутки 1-го апреля могут оказаться морозными, а может быть, снега на улицах к тому времени уже не останется.

Истинное следствие порой случайно возникает при ложных посылках или при несоблюдении правил вывода. Если примем, что все не деревянные здания являются кирпичными, и констатируем, что наше здание не деревянное, то получим заключение, что оно кирпичное. В определенной ситуации такое заключение может соответствовать действительности, но его выведение не имеет доказательной силы, т.к. первая посылка является ложной. Другой пример: Николай Сличенко – цыган по национальности, а цыгане хорошо поют; поэтому (де) Н. Сличенко хорошо поёт. Он действительно хороший певец, но вывод неоснователен. Ведь вторая посылка в этом умозаключении фактически означает «многие (но не все) цыгане хорошо поют», и каждый отдельный цыган не обязательно попадает в это число. Рассуждая по таким «образцам», мы бы часто оказывались в заблуждении. Поэтому в науке и практике важно учитывать не только фактическую истинность заключения, но и правильность вывода.

Умозаключения делят на три типа: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии. Сначала рассмотрим первый из этих типов.

Лат deductio буквально означает выведение. В традиционной логике, восходящей к Аристотелю, дедукцией называется умозаключение от общего знания к частному. Напр., если верно, что все металлы электропроводны, то и любой металл, напр. ванадий, электропроводен. Такой вывод, если в нем нет ошибки, носит достоверный характер: мы уверены в электропроводности ванадия, даже если никогда сами ее не проверяли. Все остальные, недедуктивные умозаключения при этом обозначаются как вероятностные, а иногда – как диалектические (напр., у Аристотеля).

Но в современной символической логике, под влиянием английского менталитета, дедуктивным называют всякое достоверное умозаключение, не обязательно соблюдающее принцип «от общего к частному». Именно в этом смысле мастером дедукции считается известный персонаж английской литературы – сыщик Шерлок Холмс. По форме, его умозаключения часто носят нестрогий характер, но «уточняются» благодаря необычайной наблюдательности, сообразительности, проницательности и догадливости. Тут фактически действует диалектический принцип конкретности истины, хотя и в виде обыденного здравого смысла.

Дедуктивные выводы можно рассматривать как сложные суждения; тогда, напр., тавтологии исчисления высказываний и истинные формулы исчисления предикатов выступают как схемы некоторых дедуктивных умозаключений. Далее мы рассмотрим наиболее популярные из этих форм.

2. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ В ЛОГИКЕ ПРОПОЗИЦИЙ

Это группа умозаключений, в которых логическая связь осуществляется через суждения, общие для двух посылок, а ведущую роль играют свойства пропозициональных связок (логических союзов). В учебниках логики эта группа не всегда выделяется особо, но обычно можно найти, напр. по оглавлению, характеристику каждого из далее рассмотренных видов умозаключений. Многие (но не все) из таких умозаключений являются законами логики высказываний (тавтологиями).

 1. Начнем с подгруппы условных умозаключений. Они строятся на свойствах импликации, которая обычно выражает объективную причинную обусловленность явлений. Чисто условными называются такие умозаключения, в которых обе посылки являются условными суждениями, по тавтологической схеме (А®В) & (В®С) Þ (А®С). Напр., если чрезмерно поднять цену на товар (А), люди перестанут его покупать (В); а если (В), то продавец разорится (С). Короче: если А, то С. Заметим, что выведение здесь и в других подобных случаях достигается через общий элемент в посылках (суждение В), который устраняется в заключении. Так сказать – через третье суждение (в свое время мы познакомимся с выведением через третий термин).

Условно-категорическими называются умозаключения, в которых одна из посылок содержит союз «если... то», а вторая полагается безусловно. Имеются две формы такого умозаключения, утвердительная и отрицательная. Первая называется modus ponens, и уже представлена в предыдущей теме, как принцип достаточного основания и как одно из основных правил вывода в логике высказываний; повторим его схему: (А®В) & А Þ В. Напр.: Если хочешь получить высшее образование (А), то должен освоить ряд учебных дисциплин (В). Но ты хочешь (А); значит, придется учить и те дисциплины, которые тебе сейчас не нравятся или непонятны.

Отрицательная форма называется modus tollens (лат. способ исключения): (А®В) & ùВ Þ ùА. Напр., из выполнения всех пунктов учебной программы следует автоматический зачет по данной дисциплине; но зачет не получен; следовательно, что-то не было выполнено (конечно, формальные схемы не учитывают форс-мажор и личностные отношения).

2. Разделительно-категорические умозаключения построены на свойствах дизъюнкции, которая содержится в первой посылке, тогда как вторая посылка – безусловное суждение. Здесь также два модуса. Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) имеет схему (АÅВ) & А Þ ùВ. Он вполне применим только к строгой дизъюнкции (союз «либо-либо», у нас символ Å). Напр., в середине ХХ в. экономика могла быть либо социалистической, либо буржуазной; экономика России была социалистической; следовательно, она была не буржуазной. Ошибки тут возникают из-за смешивания строгой дизъюнкции с «мягкой» дизъюнкцией (союз «или/и», у нас символ +). Напр., из того, что данная страна сельскохозяйственная, еще не следует, что в ней не развивается промышленность.

 Зато второй, отрицательно-утвердительный модус (modus tollendo ponens) применим при любом истолковании дизъюнкции. Его схема: (А+В) & ùВ Þ А. Напр., общественное хозяйство может регулироваться посредством рыночной или командно-административной системы; но возможно смешение того и другого типов регулирования. В частности, без государственного регулирования не обходится никакое современное общественное хозяйство.

3. Условно-разделительными, или лемматическими, называются умозаключения, у которых одна из посылок состоит из двух или нескольких условных суждений, а вторая посылка – дизъюнктивное суждение. По числу альтернатив в первой посылке такие умозаключения делятся на ди-, три- и полилеммы. Но чтобы понять их принципиальные свойства, достаточно рассмотреть дилемму и ее виды.

Конструктивная дилемма имеет, в общем случае, схему [(A®C)&(B®D)] & (A+B) Þ (C+D). Напр.: «Кот ученый всё бродит по цепи кругом. Пойдет налево – песнь заводит, направо – сказку говорит»; следовательно, услышим или песню, или сказку, или даже то и другое. Частный случай предыдущего – простая конструктивная дилемма, когда альтернативы сходятся (DºC), и заключение получается однозначным. Ее схема [(A®C)&(B®C)] & (A+B) Þ C. Напр., в той же поэме Пушкина кот не молчит идя налево, и не молчит идя направо; следовательно, всегда есть что послушать.

Деструктивная дилемма имеет схему [(A®C)&(B®D)] & (ùA+ùB) Þ (ùC+ùD). И здесь встречается простой случай, когда альтернативы сходятся, а заключение однозначно. Общие схемы дилемм являются тавтологиями для нестрогой дизъюнкции, а в отмеченных «простых» случаях (с однозначными заключениями) – также для строгой дизъюнкции. А далее мы рассмотрим умозаключения, которые не сводятся к формулам исчисления высказываний, хотя свойства пропозициональных связок играют в них ведущую роль.

4. Разделительные умозаключения часто рассматривают совместно с лемматическими. Те и другие опираются на свойства дизъюнкции, однако схема разделительных умозаключений включает элементы исчисления предикатов, т.к. в ней представлены не целые высказывания, а субъекты и предикаты: (S есть P+Q+R...) & (P есть P₁+P₂) Þ (S есть P₁+P₂+Q+R...). Напр., всякий философ или монист, или дуалист, или плюралист; всякий монист – либо материалист, либо идеалист; следовательно, всякий философ или материалист, или идеалист, или плюралист. Разумеется, разделение можно ввести также для Q, R и т.д.; это технически усложняет выведение, но не вносит ничего принципиально нового.

5. Непрямые (косвенные) умозаключения – такие, которые получаются путем преобразования других умозаключений. Поэтому в их посылках могут фигурировать целые умозаключения и теории (системы суждений). Такие сложные посылки принято обозначать прописными буквами греч. алфавита Г, D и далее. Схемы косвенных умозаключений близки к уже рассмотренным, но в них импликация и знак выводимости могут заменять друг друга. Такие схемы служат повышению формальной строгости вывода, и чаще используются в математике и в других формализованных дисциплинах. Мы здесь рассмотрим их лишь факультативно.

Выделяют три вида непрямых умозаключений. Во-первых, правило введения импликации, оно же – «теорема о дедукции». Его схема: [(Г&А) Þ В] Þ [Г Þ (А®В)], где Г – некий ранее данный набор посылок (система аксиом, какая-то формула или целая теория), А – вновь присоединенное к этой системе суждение. Смысл этой схемы: в правильном рассуждении субъективная выводимость заключения отражает объективные причинно-следственные отношения. Напр., известна формула длины окружности (Г): L = pD, и дано (А): D = 2 см, откуда выводим (В) = 2p см. Тогда можно записать, что из D = 2 см следует (или: оно имплицирует) L » 6,28 см.

Во-вторых, это правило сведения к абсурду (лат. reductio ad absurdum), оно же – правило введения отрицания. Его схема: [(Г&А) Þ (В&ùВ)] Þ (Г Þ ùА). Смысл этой схемы: если введение в проверенную систему умозаключений Г нового суждения А приводит к появлению любых противоречий, то суждение А неверно. Напр., в стране установлены основы рыночной экономики (Г), но государство облагает предпринимателей непомерными налогами (А). Получается абсурд: предпринимательство В должно существовать, но не может существовать. На практике такое противоречие разрешается уходом капитала за рубеж или в теневую экономику, а в теории это означает, что налоговая политика (А) неправильна.

В-третьих, к непрямым умозаключениям относится т.н. рассмотрение по случаям (или: путем разбора возможных случаев). Схема его почти совпадает со схемой лемматического умозаключения, только импликация заменяется на выводимость, а вместо суждений в качестве посылок фигурируют целые умозаключения: [(ГÞC) & (DÞD)] & (Г+D) Þ (C+D). Часто такое умозаключение употребляется там, где надо выяснить справедливость некоторого утверждения для разных граничных условий. Напр., требуется определить т.н. полную (релятивистскую) массу, с одной стороны, для тел, обладающих массой покоя и, с другой стороны, – для частиц излучения. Для первого случая СТО А. Эйнштейна (Г) дает формулу (C): m = m_o/Ö(1–v²/C²). Пытаясь применить ее к фотонам, у которых m_o = 0 и v = С, получим неопределенный результат 0/0. Тогда для второго случая используем теорию (D): формулу М. Планка E = hn, совместно с формулой Эйнштейна E=mC². Из них выводится (D): m = hn/C². Таким образом, получается набор формул полной массы объекта для обоих случаев.

Рассмотрение по случаям может трактоваться и как индуктивное умозаключение путем полного перебора возможностей (см. ниже). Но, поскольку его заключение носит необходимый характер, оно законно включается и в настоящую тему. В следующей теме продолжим рассмотрение дедуктивных умозаключений, но уже не почве исчисления предикатов и родственных ему традиционных учений.