Логика, 5. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Логика, 5. ДЕДУКЦИЯ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Читатель может ожидать, что в этой теме мы будем рассматривать умозаключения на почве символического исчисления предикатов. Но те из них, которые обычно применяются в построении общенаучных текстов, сводятся к фактуальным формулам, и уже представлены нами в теме 3 и в публикации «Логическая символика» на этом блоге. Более сложные схемы фигурируют только в формулах математической логики и в текстах некоторых математизированных дисциплин. А в общенаучных рассуждениях тут обычно применяют средства, разработанные традиционной логикой. Правда, они не всегда автоматически дают правильный результат, приходится соблюдать некоторые правила; тем не менее, для большинства случаев они удобнее в применении. Их мы и представим в данной теме. Причем с некоторыми из них читатель уже фактически знаком по темам предыдущим.

1. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Непосредственными называются дедуктивные умозаключения логики предикатов, в которых имеется только одна явная посылка (речь идет о простых суждениях). К ним относятся 1) умозаключения по логическому квадрату, 2) превращение, 3) обращение и 4) противопоставление предикату. При этом первый вид уже фактически рассмотрен нами в теме 3, как отношения суждений в логическом квадрате. Только ради напоминания приведем один пример: из посылки «Некоторые животные не млекопитающие» можно непосредственно сделать вывод «Неверно, что все животные млекопитающие».

Превращение – непосредственное умозаключение, при котором изменяется качество посылки без изменения ее количества. При этом предикат заключения отрицает предикат посылки: (SaP) ® (SùаùP). Напр., из посылки «Некоторые части речи – глаголы» непосредственно заключаем «Некоторые части речи не есть неглаголы». Смысл этого умозаключения сводится к закону снятия двойного отрицания; поэтому превращению подлежат все типы суждений языка AIOE.

Обращение – непосредственное умозаключение, при котором субъект и предикат меняются местами при сохранении качества суждения: (SаP) ® (PаS). Обращение не распространяется только на тип суждений О в языке AIOE. Однако обращение суждений с пустым предикатом может привести, в конечном счете, к ложному заключению. Напр., из суждения «Ни один человек не открыл философский камень» по обращению следует «Ни один открывший философский камень не человек», откуда по превращению вытекает странное утверждение «Некоторый не-человек открыл философский камень».

Кроме того, обращение бывает полное, когда сохраняется также количественная характеристика суждения, или – обращение с ограничением, когда из общей посылки выводится частное заключение. Это завис от т.н. распределённости терминов в исходном суждении. С формальной стороны, учение о распределённости терминов входит в состав учения о суждении. Но реальная потребность в нем возникает только на данном этапе освоения курса; поэтому сейчас мы его и рассмотрим.

Термин считается распределённым в данном суждении, если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью из него исключается. Напр., в суждении «Все лебеди – птицы» субъект распределён, а предикат не распределён. В суждении «Некоторые инженеры – авиастроители» оба термина не распределены. А в суждении «Все люди в норме разумны» фактически распределены оба термина, т.к. нам пока не известны другие разумные существа, кроме людей; но тут, как видим, окончательное решение зависит от контекста. Всегда распределены оба термина только в общеотрицательном суждении (тип Е в языке AIOE), напр. «Ни один человек не птица».

Обращение бывает полным, когда оба термина в нем (субъект и предикат) распределены или не распределены. Так обращаются суждения типа Е и I. Обращение происходит с ограничением, когда один из его терминов распределен, а другой – нет. Так суждения типа А обращаются в суждения типа I. Напр., «Все лебеди – птицы» в «Некоторые птицы – лебеди». Заметим, что то же заключение можно сделать по логическому квадрату.

Противопоставление предикату – непосредственное умозаключение, при котором субъект и предикат меняются местами, причем изменяется качество предиката и суждения в целом, по схеме (SаP) ® (ùPùаS). Это умозаключение можно рассматривать как превращение и обращение, проведенные одно вслед за другим. По его формуле получаются выводы типа: A®E, E®I, O®I. Из суждений типа I не получается необходимый вывод по противопоставлению. Напр, из посылки «Некоторые студенты – спортсмены» нельзя сделать по этой схеме основательный вывод «Некоторые не спортсмены не являются студентами» (хотя в таком утверждении нет фактической ошибки).

При рассмотрении непосредственных умозаключений, и в других задачах логики предикатов, помогают т.н. круги (диаграммы) Эйлера. Это графические изображения соотношения объемов субъекта и предиката суждения, в которых наглядно представляются связь и распределённость терминов в посылках. Есть еще более полные графические схемы того же рода – диаграммы Д. Венна, но к ним редко приходится прибегать в практической логике. Образцы тех и других диаграмм обильно представлены в сети интернет; некоторые из них мы размещаем на данном блоге отдельной публикацией. Материал этот, на наш взгляд, доступен для самостоятельного освоения; но если возникнут вопросы, пишите в комментариях, автор готов дать пояснения.

2. СИЛЛОГИЗМ, ЕГО ФОРМЫ И ПРАВИЛА

Греч. syllogismos означает умозаключение вообще, и не случайно, т.к. это самая распространенная на практике форма умозаключений. Конкретнее, силлогизмом называется вывод из двух или более посылок, связанных некоторыми общими для них (т.н. средними) терминами. Заключение здесь получается как связывание остальных (т.н. крайних) терминов через удаление среднего термина. Напр., даны два суждения: «Все киты млекопитающие» и «Все млекопитающие дышат легкими». Здесь средний термин «млекопитающие», и такая структура позволяет получить достоверный результат «Все киты дышат легкими».

Аксиома силлогизма гласит: признак признака предмета есть признак самого предмета. Структура простого категорического (или ассерторического, т.е. немодального) силлогизма включает три суждения:

       М – Р  ...  большая посылка (лат. maior): та, которая содержит предикат заключения Р;

       S – М  ...  меньшая посылка (лат. minor): та, которая содержит субъект заключения S;

       S – P  ...  само заключение (лат. conclusio);

буквой М здесь обозначается средний термин (от лат. medium – средний).

В простом категорическом силлогизме может быть только три термина. Частая ошибка – «учетверение терминов», напр.: «Металлы – химические элементы, бронза – металл, следовательно, бронза есть химический элемент». Заключение ошибочно, т.к. бронза – сплав меди напр. с оловом. А корень этой ошибки заключается в неодинаковом значении слова «металл» в посылках: сначала это химическая категория, потом – техническое понятие. По существу мы здесь имеем т.н. эквивокацию, как нарушение принципа тождества: в результате ее, в силлогизме оказывается фактически четыре термина.

По расположению среднего термина М в посылках (играет ли он роль субъекта или роль предиката) различают четыре фигуры простого категорического силлогизма. Заключение во всех фигурах имеет вид S – P, а термины в посылках изменяют свое место и расположены следующим образом:

       1-я фигура:  М – Р,  S—M

       2-я фигура:  P – M,  S—M

       3-я фигура:  М – Р,  M—S

       4-я фигура:  P – M,  M—S

Для наглядности применяют графическое изображение фигур силлогизма; мы помещаем его рядом на данном блоге. Поясним только, что в этих схемах верхняя горизонталь всегда представляет большую, нижняя – меньшую посылку, а линия, соединяющая горизонтали, соединяет и общий для посылок (средний) термин M. Первая фигура обычно используется для выведения частного знания из общего; таким образом, она как бы непосредственно представляет принцип дедукции, и на практике является наиболее распространенной. Пример: «Всё живое растёт; клетка – живое; следовательно,  клетка растёт».

Вторая фигура удобна для опровержения утвердительных суждений, напр.: «Всякое растение содержит клетчатку; ни одна гидра не содержит клетчатку; следовательно, гидра не растение». Третья фигура удобна для опровержения общих суждений, напр.: «Ртуть – не твердое тело; но ртуть – металл; следовательно, не все металлы являются твердыми телами». Четвертая фигура считается искусственной и редко употребляется, но и по ней можно привести пример: «Все хирурги – врачи; все врачи имеют высшее образование; следовательно, некоторые люди с высшим образованием являются хирургами».

В каждой фигуре силлогизма выделяются различные модусы. Это разновидности той же фигуры с учетом количественных (общая или частная) и качественных (утвердительная или отрицательная) характеристик каждой посылки и заключения. Формальная комбинация этих функторов дает 256 модусов, по 64 в каждой из четырех фигур. Но правильными (всегда выполнимыми) являются только 24 модуса, по 6 в каждой фигуре. При этом 5 из них – т.н. ослабленные модусы, в которых заключение формулируется как частное суждение, хотя те же посылки дают и общее заключение. Таков напр. модус EAO второй фигуры: он получается просто как вывод по логическому квадрату из модуса EAE: если все S не-P, то и некоторые S не-P. А если отбросить «ослабленные», то правильных модусов получается всего 19: по 4 в первой и второй фигурах, 6 в третьей и 5 в четвертой фигуре. Таким образом, из 256 формально возможных модусов правильные составляют всего 7,42%.

Естественно возникает вопрос, как отбирать правильные модусы из большого числа неправильных. В Средние века правильные модусы наделяли условными названиями на основе языка AIOE: придумывали латинские слова с тремя гласными, последовательность которых отражала характер посылок и заключения, и заучивали эти слова по фигурам наизусть. Напр., в первой фигуре – модусы Barbara, Darii, Ferio и др., во второй фигуре – модус Cesare и др. Согласные в этих искусственных словах тоже значимы: они показывают, к какому модусу первой фигуры и каким способом сводится данный моду. Это хорошие упражнения для развития памяти и закрепления знаний; однако состоятельность модуса можно выяснить и без таких упражнений.

Для этого надо, во-первых, знать правила посылок. Для категорического силлогизма они таковы:

1. Должна быть хотя бы одна общая посылка (из двух частных вывода нет).

2. Если хотя бы одна из посылок частная, то заключение должно быть тоже частным.

3. Должна быть хотя бы одна утвердительная посылка (из двух отрицательных вывода нет).

4. Число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

Мы сразу добавим еще правила посылок для стандартного модального силлогизма:

5. Должна быть хотя бы одна посылка о необходимости (из посылок о возможности вывода нет).

6. Если хотя бы одна из посылок – о возможности, то заключение должно быть о возможности.

Учитывая те и другие пункты, можно сформулировать обобщенные правили посылок: 1) нет вывода при обеих слабых посылках (т.е. частных, или отрицательных, или о возможности); 2) качество, количество и модальность заключения определяются наислабейшими посылками; поэтому утвердительное заключение может быть только при всех утвердительных посылках, общее – только при всех общих посылках, заключение о необходимости – только если нет посылок о возможности. Эти обобщенные правила распространяются не только на простые, но на всякие силлогизмы.

Во-вторых, надо знать правила терминов. Для простого силлогизма они таковы:

1.В силлогизме должно быть (напомним) ровно три термина.

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.

3. Термин, не распределённый в посылке, не должен быть распределён в заключении.

Примеры нарушения этих правил в простых категорических силлогизмах: 1) Многие растения (М) окрашены хлорофиллом (Р); Грибы (S) – растения (М); следовательно, Грибы (S) окрашены хлорофиллом (Р). Здесь термин M «растения» не распределен ни в одной из посылок, поэтому правильного модуса не получается. 2) За полярным кругом бывают белые ночи; Ленинградская область не находится за полярным кругом; следовательно, В Ленинградской области не бывает белых ночей. Вывод ложен, т.к. термин P «Ленинградская область» распределён в заключении, а в посылках не распределён.

Еще проще решать силлогизмы с помощью кругов Эйлера или (в более сложных или ответственных случаях) с помощью диаграмм Д. Венна. Процесс этот вполне нагляден, надо только внимательно строить диаграммы; мы приводим пару примеров для разных модусов простого категорического силлогизма.

3. СОКРАЩЁННЫЕ И СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ

Энтимема (от греч «в уме») – сокращённый силлогизм, в котором опущено заключение или одна из посылок. Напр.: «Все образованные люди учились, значит, и Сократ учился» (опущена посылка «Сократ – образованный человек»). Или: «Все пластмассы плавятся при нагревании, а полиэтилен – пластмасса» (опущено заключение «Полиэтилен плавится при нагревании»).

Полисиллогизм (сложный силлогизм) это цепь из двух или более силлогизмов, в которой заключение предыдущего силлогизма становится посылкой последующего. Если оно превращается в большую посылку, этот полисиллогизм называется прогрессивным, если в меньшую – регрессивным. Пример прогрессивного полисиллогизма из трех простых силлогизмов: «Всё, что развивает ум, полезно будущему экономисту; Изучение логики развивает ум; Изучение логики полезно будущему экономисту (первое заключение; добавляются посылки:) Изучение логики требует знаний о силлогизмах; Знание о силлогизмах полезно будущему экономисту (второе заключение; добавляются еще посылки:) Полисиллогизм есть форма силлогизма; Знание о полисиллогизмах полезно будущему экономисту (последнее заключение)».

Сами полисиллогизмы чаще всего применяются в сокращённой форме, в виде т.н. соритов (от греч. sorites – кучеобразный). Они получаются из полисиллогизма путем выбрасывания заключения предшествующего силлогизма и одной из посылок каждого последующего силлогизма. Если опущена большая посылка, сорит называется прогрессивным, или гоклениевским; если меньшая – регрессивным, или аристотелевским. Пример регрессивного сорита: «Все экономисты – специалисты; Все специалисты образованы; Все образованные люди имеют диплом; следовательно, все экономисты имеют диплом». В сорите каждый термин, кроме терминов заключения, входит в посылки два раза: один раз как субъект, и один раз как предикат.

Эпихейрема – сложносокращённый силлогизм, обе посылки которого представляют собой энтимемы (сокращённые простые силлогизмы). Напр: «Дыхание необходимо для жизни, т.к. без кислорода клетки тела не вырабатывают энергию. Деятельность легких необходима для дыхания, т.к. она насыщает кровь кислородом. Следовательно, деятельность легких необходима для жизни».

Схемы всех сложных силлогизмов можно представить как тавтологии исчисления высказываний, где в качестве предложений (А, В, С...) выступают целые силлогизмы. На практике (по совету Р. Декарта), во избежание путаницы и неясностей, в научных текстах разделяют сложные умозаключения на простые, но избегают энтимем и других сокращений в умозаключениях.