Логика, 3. УЧЕНИЕ О СУЖДЕНИИ

1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И СУЖДЕНИЯ

В формальной логике слова «высказывание» и «суждение» употребляются как синонимы, потому что она работает только с одним видом высказываний, а именно – с суждениями. Но в общем смысле, философском и грамматическом, более широким понятием является высказывание. Оно определяется как любая осмысленная связь понятий, не сводящаяся к другому понятию. Точнее выражаясь, это любая связь, за которой можно представить некий денотат (предметное значение символов, не обязательно реальное).

Грамматической формой высказывания является законченное предложение любого вида. К примеру, «Европа плюс» – не законченное предложение, и поэтому не высказывание. Это словосочетание используется сейчас как название одной из российских радиовещательных корпораций, т.е. – как имя собственное, а такие имена не обязательно обладают смыслом и значением. «Фосфоресцирующий в темноте кошачий глаз» – осмысленное понятие, выраженное в нескольких словах, но предложения они не образуют; это синтагма, но не высказывание. «Квадратичность пьет воображение» – законченное предложение, но для грамматики – не высказывание, т.к. по содержанию бессмысленно и не имеет денотата. Однако формальная логика вполне может с ним работать, т.к. нечувствительна к содержанию, а по форме это – обычное суждение.

Суждением называется такое высказывание, в котором что-либо утверждается или отрицается. Поэтому оно может расцениваться как истинное или ложное, но – только если оно осмысленно. А этот вопрос решается, опять-таки, за пределами формальной логики и логики вообще, путем сравнения суждений с опытом и практикой. Повторим: логика работает только с этим видом высказываний. Обычно суждение выражается повествовательным предложением, а вопросительные и побудительные (восклицательные) предложения в общем случае не являются суждениями. Исключение составляют т.н. риторические вопросы и восклицания: «Кто не знает имени Шекспира?», «Ты посмотри, какая в мире тишь!» и т.п. Есть исключения и для повествовательных предложений: суждения вкуса и долженствования не подлежат объективно-истинностной оценке, т.к. выражают некоторые субъективные вкусы и установки, личные или общественные.

Вопросительные и побудительные высказывания тоже играют немалую роль в познании. Говорят, что правильно сформулировать проблему – значит наполовину ее решить; но проблема и есть вопрос, на который пока нет обоснованного ответа. Побудительные высказывания в форме идеалов и лозунгов играют большую роль в организации всякого дела, и в социальных науках фактически выступают в качестве гипотез. А гипотетико-дедуктивный метод – один из важнейших и эффективнейших методов познания. Тем не менее, теоретические доказательства строятся только посредством суждений. Но то обстоятельство, что формальная логика не отличает лозунги и другие суждения вкуса и долженствования от суждений, отражающих саму реальность, порой способствует заблуждениям в сфере социального познания: напр., выводы из желаемого принимаются за суждения о действительном, о перспективах развития и о действиях, которые тут потребны.

Как и предложения в грамматике, суждения в логике делятся на простые и сложные. Структура простого суждения включает три элемента: субъект (S) – то, о чем нечто высказывается (подлежащее), предикат (P) – то, что высказывается о субъекте (сказуемое), связка – способ их соединения. Связка обычно обозначается просто через тире; тогда в символической записи получается S–P. По характеру связки традиционно выделяют три вида простых суждений:

1) атрибутивные, или суждения свойства, в которых связка явно или неявно означает «присуще свойство», напр.: «Роза приятно пахнет»; в символической записи SaP.

2) релятивные, или суждения отношения, напр.: «Париж находится между Лондоном и Москвой»; символически SrP, или R(a1, a2, ..., aN), где R – имя отношения;

3) экзистенциальные, или суждения существования, в которых утверждается или отрицается бытие субъекта суждения: «Существуют египетские пирамиды»; «Не существует снежного человека»; «Русалки существуют только в воображении», и т.п.

Символическая запись для экзистенциального суждения в традиционной логике не определилась, что не случайно. Сам Аристотель и многие другие специалисты (в т.ч. – автор этих строк) полагают, что признак существования логически не отличается от присущности; следовательно, экзистенциальные суждения есть только вид атрибутивных суждений. Но логика находится под влиянием философии, в которой категория бытия с древности запутана идеалистическими учениями; и мы еще не раз коснемся споров вокруг т.н. экзистенциальной логики и формальной онтологии.

Пока же отметим, что релятивные связки тоже не так специфичны, чтобы для них обязательно вводить особую форму записи: ведь часть связки, определяющую вид отношения, можно трактовать и как часть предиката. Это позволяет применить ко всем простым суждениям универсальную форму записи SaP, далее конкретизируя форму суждения «навешиванием» т.н. функторов.

2. ФУНКТОРЫ В СУЖДЕНИИ

Функтор – это операция, которая преобразует свойства знаковой конструкции, сохраняя ее основное содержание. В логике употребляются в основном функторы трех видов:

1) Модальные функторы обозначают оценку отношений субъекта и предиката с той или иной позиции. Суждения без явной модальной окраски принято называть ассерторическими, от греч. assertoris – утвердительный; термин не очень удачный, иногда приводящий к недоразумениям, но закрепленный традицией. Впрочем, немодальные суждения часто называют не ассерторическими, а категорическими.

Сами категории истинности и ложности (суждений) порой относят к модальностям, и рассматривают их как функторы, обозначая напр. символами «И» и «Л». В самом деле (как мы уже замечали), оценка истинности изначально формируется за пределами логики как таковой; внутри нее можно говорить только о правильности. В естественной речи часто встречаются деонтические модальности (от гр. deontos – должное), отражающие нормативный характер социальных отношений: допустимо, разрешено, запрещено и т.д.; но отношения долженствования, по своей субъективной природе, мало поддаются формализации.

Формальная логика обычно работает с т.н. алетическими модальностями, отражающими тип объективной обусловленности явлений или высказываний: необходимо, возможно, случайно, неизбежно и т.п. При этом обычно используют только два функтора – «необходимо» и «возможно». Порой к ним присоединяют модальность «существует», якобы выводимую из «необходимости». Но этот момент сомнителен, как сомнительна вся т.н. экзистенциальная логика. Из понятия Пегаса необходимо следует наличие у него крыльев, однако крылатых коней никто наяву не видел. Вообще, существование – не модальность и не функтор, а свойство предмета, определяемое не мыслью, а реальными обстоятельствами.

2) Качественные функторы обозначают утвердительный или отрицательный характер суждения. В естественном языке эту роль выполняют слова с положительным или отрицательным значением, напр. «Иванов присутствует – Иванов отсутствует», а для отрицания применяют еще специальные слова и частицы: «нет», «неверно», «ложно», «ошибочно», «не-» и т.п. Напр.: «Герань цветет – Она не цветет – Неверно, что герань цветет – Ты ошибся или обманываешь, что она зацвела». В современной символической записи суждение без качественного функтора обычно трактуется как утвердительное или истинное, а суждение со специальным функтором (ù или Л) – как отрицательное или ложное.

3) Количественные функторы, они же кванторы (от лат. quantum – сколько) характеризуют суждение как относящееся либо ко всему объему субъекта (общее суждение), либо к его части (частное суждение). В естественном языке употребляются слова «все» или «некоторые», а отрицательное общее суждение может обозначаться словами «ни одно», «никакое» и т.п. В современной символической записи используются, соответственно, квантор общности " и т.н. квантор существования $. Последний можно читать «хотя бы некоторые...» или «существуют такие...» Мы уже отмечали, что второй вариант его прочтения порой приводит к недоразумениям.

Еще некоторые особенности тут следует иметь в виду. Во-первых, единичные суждения (напр. «Эта квартира уютная») подпадают под схему общих суждений, поскольку относятся ко всему объему субъекта. Во-вторых, частные суждения могут трактоваться в двух смыслах: в ограничительном (не все), или в расширительном (хотя бы некоторые, но может быть и все). Обычно принимается второй, расширительный смысл, который ближе к естественной речи; а ограничительный смысл особо выделяется, напр. словами «только некоторые» или специальными символами. Но иногда соответствующий смысл приходится улавливать из контекста.

3. ЯЗЫК AIOE И ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

В традиционной логике качественные и количественные характеристики простых категорических (или ассерторических, т.е. немодальных) суждений выражаются т.н. языком AIOE. Это аббревиатура из условных обозначений четырех типов суждений, ее составляющие происходят от первой или второй гласной лат. слов affirmo – утверждаю и nego – отрицаю, и означают следующее:

A – общее утвердительное суждение, типа Все S есть P, напр. «Все розы это цветы»;

I – частное утвердительное суждение, типа Некоторые S есть P, напр. «Некоторые розы белые»;

O – частное отрицательное суждение, типа Некоторые S не есть P, напр. «Некоторые розы не красные»;

E – общее отрицательное суждение, типа Ни одно S не есть P, напр. «Ни одна роза не фрукт».

В XI в. византийский философ Михаил Пселл представил отношения этих типов суждений по их истинности или ложности (при тех же субъекте и предикате) в виде т.н. логического квадрата. Его изображение помещено в этом же блоге, рядом с данным текстом. В верхних углах этого квадрата располагаются общие суждения (типов А и Е), в нижних – частные (соответственно, типов I и О). При этом верхняя образующая квадрата выражает отношение контрарности, т.е. противоположности, напр.: «Этот цветок черный» и «Этот цветок белый». Суждения, находящиеся в таком отношении, могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными; в нашем примере, цветок может оказаться не черным и не белым, а красным и др.

Суждения, расположенные по концам диагонали квадрата (А и О, Е и I соответственно), находятся в отношении контрадикторности, т.е. противоречия. Согласно принципу исключенного третьего, если одно из них истинно, то другое обязательно ложно. Так, если истинно, что «Ни одна роза не цветет зимой в открытом грунте» (тип E), то ложно, что «Некоторые розы цветут зимой в открытом грунте» (тип I).

Нижняя образующая квадрата (между суждениями типа I и О) выражает отношение субконтрарности (частичной противоположности). Такие суждения могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными. Так, из суждений «Некоторые розы в этом саду белые» и «Некоторые розы в этом саду не белые» оба могут быть одновременно истинными, но хотя бы одно из них истинно (если не бессмысленно).

Наконец, вертикальные образующие квадрата выражают отношение логического подчинения (субординации). Если подчиняющее общее суждение (типа А или Е) истинно, то соответствующее подчиненное суждение (типа I или О соответственно) также истинно; но если подчиненное суждение ложно, то подчиняющее тем более ложно. Так, если все студенты в группе успевающие, то и все студенты любой ее подгруппы тоже успевающие. Но если неверно, что некоторые пластмассы электропроводны, то ни один вид пластмасс не электропроводен.

Как видим, логический квадрат позволяет строить некоторые сложные суждения, и даже – элементарные умозаключения (вид т.н. непосредственных умозаключений). Но в символической логике теория сложных суждений выступает в иной в форме. К ней мы и обратимся в следующем пункте темы.

4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ

Сложными называются такие суждения, в составе которых можно выделить более чем одно суждение. Их логическую структуру нельзя свести к одному субъекту и одному предикату. Современная теория таких суждений выступает в виде исчисления высказываний (правильней было бы – суждений, но уж так сейчас принято), и исчисления предикатов.

Исчисление высказываний называют также пропозициональной логикой, от лат. propositio – предложение или суждение. Оно рассматривает только отношения между целыми суждениями, не учитывая их внутреннюю структуру. При этом суждения обычно обозначают заглавными буквами из начала латинского алфавита: A, B, С... Они соединяются логическими союзами, которые могут совпадать или не совпадать с грамматическими союзами естественной речи (в проектировании компьютерных программ эти союзы называют «логическими вентилями»).

К союзам естественного происхождения относятся конъюнкция (союз «и», обозначают напр. &); дизъюнкция (союз «или», обозначают напр. +); строгая дизъюнкция (союз «либо-либо», обозначают напр. Å); импликация (союз «если... – то...», логическое следование, обозначают обычно ®); тождество (эквивалентность) º; отрицание (логическая инверсия) ù. Используют знак выводимости Þ (как бы признание или подтверждение состоятельности вывода), и др. Используют также две специально изобретенные искусственные связки. Это 1) штрих Шеффера | – отрицание конъюнкции, символически пишется A | B º ù (A&B); 2) стрелка Пирса ¯ – отрицание дизъюнкции, символически пишется A ¯ B º ù (A+B).

Свойства связок задаются или аксиомами, аналогично математическим исчислениям, или т.н. таблицами истинности (предложены Л. Витгенштейном). Такие таблицы нетрудно найти в интернете, мы приведем только образец их построения на примере союза & («и»).

Легко видеть, что выражение A&B истинно только в том случае, когда истинно каждое из входящих в него суждений. Подробнее: когда А истинно и В ложно, то A&B ложно; когда А ложно и В истинно, то A&B ложно; когда А ложно и В ложно, то A&B ложно; когда А истинно и В истинно, то A&B истинно. Несложно оформить этот результат в виде таблицы. На основании таких таблиц (для всех союзов) строится т.н. естественное выведение (особый способ умозаключения в логике).

В случае с аксиомами, набор необходимых логических функций строго определяется т.н. теоремой Поста. Вообще говоря, число союзов в пропозициональных исчислениях может быть различным. Но доказано, что конъюнкция с отрицанием и дизъюнкция с отрицанием образуют функционально полные системы связок, т.е. – позволяют выразить любое сложное суждение. На этом основании и вводятся указанные выше искусственные связки: каждая из них образует полную систему в том же смысле.

По той же причине, всякую запись в логике высказываний можно свести к т.н. совершенной нормальной форме. При этом различают 1) Совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ): это конъюнкция взятых в скобки дизъюнкций; и 2) Совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ): это дизъюнкция взятых в скобки конъюнкций. В скобках СКНФ содержится перечень всех логических следствий из данного высказывания; в скобках СДНФ содержится перечень всех возможных посылок данного высказывания. Эти формы записи применяются в методологическом (метатеоретическом) анализе формализованных учений.

На основе свойств связок, в исчислении высказываний выводятся т.н. общезначимые формулы, они же – законы логики. Это формы сложных высказываний, всегда истинные или, наоборот, всегда ложные, при любой (но всегда неизменной в данном рассуждении) содержательной интерпретации входящих в них буквенных символов. Их называют также тавтологии, от греч. tauto – то же самое, и logos – слово. С важнейшими из этих законов-тавтологий мы познакомили читателя уже в первой теме, под названием «принципы логики»; также их и другие тавтологии он найдет в нашей недавней публикации «Логические символы» на этом блоге.

Исчисление высказываний считается разрешимым, в том смысле, что в нем можно за конечное число операций доказать или опровергнуть любую теорему. А на его базе строится (и считается его расширением) исчисление предикатов (оно же – функциональная логика), которое учитывает также внутреннюю структуру суждений. При этом в символической логике субъекты суждений называют термами, и обычно обозначают строчными буквами из конца латинского алфавита: x, y и т.д.; при этом допускаются постоянные и переменные термы. Используются также различные функторы, в т.ч. кванторы.

Исчисление предикатов не является разрешимым в указанном смысле, т.е. его истинные формулы не всегда можно свести к аксиомам, порой требуется их фактическая проверка. Поэтому здесь они называются не тавтологиями, а фактуальными формулами. Важнейшие из них читатель также найдет в публикации «Логические символы» на этом блоге. Смысл их достаточно прост и прозрачен, читатель не затруднится понять его самостоятельно.

Все основные формулы функциональной логики относятся к исчислению предикатов первого порядка, т.е. такому, в котором квантифицируются только переменные. Но могут быть исчисления второго порядка, которые допускают также квантификацию над множествами; исчисления третьего порядка, которые квантифицируют также множества множеств, и т.д. С порядками выше первого работают математики в теории множеств и в ее применениях, а в обычной логике эти порядки практически не используются.

Примечательно, что символика исчисления предикатов не отражает связку в суждении, как таковую. Этим косвенно подтверждается, что с формальной стороны все связки сводимы к атрибутированию (присущности), и нет необходимости выделять в особые группы релятивные и экзистенциальные связки. Однако традиция выделять строить экзистенциальную логику, и на ее почве – т.н. формальную онтологию, отразилась и в идеях исчисления предикатов. А именно: в истолковании кванторной записи $х не как «некоторые х», а как «существуют такие х», причем понятию существования придается оттенок реальности.

В результате, т.н. аксиома Баркан à$х Р(x) ® $х àР(x), вполне тривиальная при первом истолковании квантора, при его «экзистенциальной» трактовке превращается в шизофренический парадокс. Согласно ей (в такой трактовке $х), из утверждения, что некоторые марсиане – зеленые, якобы можно заключить, что марсиане существуют, и некоторые из них – зеленые. Еще разительный выглядит при этом другая аксиома стандартного исчисления предикатов – т.н. закон экзистенциального обобщения P(a) Þ $х Р(x). При трактовке $ как реального существования, из этого закона можно вывести, напр., убийственное противоречие «Существует предмет, который не существует» (когда P означает «не существует такого»).

Ошибки тут вполне очевидны и многократно подвергались научной критике. Нетрудно понять, в частности, что существование – вообще не квантор, т.е. не количественная характеристика суждения, и что не дело формальной логики судить о содержании реальности, в которой существование явлений всегда зависит от конкретных обстоятельств. Тем не менее, трактовка записи $х как «существуют такие х» была принята самими создателями исчисления предикатов (Г. Фреге и Б. Расселом), и остается в символической логике преобладающей по сию пору. Как мы уже отмечали, причина этого лежит в предвзятых мировоззренческих установках.

(Подробнее читатель может ознакомиться с данным вопросом по двум нашим публикациям и по библиографии к ним. Это статьи: ”Бытие” Парменида и логика существования // Философия науки, 2007, № 1, с. 3–15; Философские истоки формальной онтологии // Вестник Красноярского гос. аграрного университета, 2007. № 6, с. 276–282. Обе статьи сейчас можно найти в интернете).

Последний пункт данной темы вплотную подвел нас к теме следующей: ведь в основе умозаключений лежат именно формы сложных суждений.

Схема к т. 3. ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

К теме 3 "Учение о суждении"

Логика, 2. УЧЕНИЕ О ПОНЯТИИ

1. МЫСЛЬ И ПОНЯТИЕ. ВИДЫ ПОНЯТИЙ

Понятия – это имена предметов, грамматически – имена существительные, за исключением имен собственных. Сами соответствующие предметы образуют значение понятия (его «денотат»). Понятия имеют также смысл, отражающий сущность предметов и явлений. Его наличие сознают и представители символической логики; но до сих пор понятие смысла остается в данной сфере непроясненным (подробнее см., напр., в нашей статье «Значение, смысл и искусственный интеллект», 2019; ее можно прочесть в интернете, и она размещена в данном блоге 14.08.2019 г.: https://phlsphy.blogspot.com/2019/08/blog-post.html). Дело в том, что смысл и сущность предполагают содержательное отражение действительности, а формальная логика, по природе своей, не может работать с такими отражениями.

В ней понятия делят на виды по четырем категориям:

1) Единичные, напр., «поэт А.С. Пушкин»; общие, напр. «поэты»; пустые, напр. «русалка». Но любое понятие содержит в себе потенциал обобщения (Пушкин интересен именно как поэт), и также любое понятие имеет если не объективный, то субъективный денотат (та же русалка существует хотя бы в нашем воображении). Таким образом, нет ни абсолютно единичных, ни абсолютно пустых понятий: на такие «достоинства» могут претендовать только имена собственные.

2) Собирательные понятия обозначают только группу однородных предметов, но неприменимы к предметам внутри этой группы. Примеры: роща, экипаж, библиотека, клавиатура и т.д. Разделительные– все остальные понятия: свет, вагоны, автобусы, деревья и т.д.

3) Соотносительные – такие понятия, в признаки которых прямо включается отношение данного предмета или явления к другим предметам или явлениям: сын, сестра, истец, кредитор и т. п. Остальные понятия – несоотносительные: дом, специалист, растение и др.

4) Конкретные (предметные) понятия обозначают явление, в принципе способное к самостоятельному отдельному бытию, объективному (в реальности) или хотя бы к субъективному (в мысли): кафедра, небо,  склонение, узнавание, марсианин. Абстрактные понятия обозначают признак, свойство или сторону предметов, не существующие без самих предметов: прочность, цвет, честность, разум, свобода, приглашенный, существование и т.д. Распространенной является ошибка гипостазирования, когда признак выдается за самостоятельно существующий предмет,  напр. разум – за отдельно существующий дух, существование как свойство спутывается с «бытием» в смысле универсума, и т.д.

2. ОТНОШЕНИЯ ПОНЯТИЙ И ДЕЙСТВИЯ НАД ПОНЯТИЯМИ

Две стороны любого понятия – его содержание, т.е. совокупность заключенных в нем признаков, и его объем – множество предметов, которое охватывает данное понятие. Так, в понятии «стол» содержание – наличие горизонтальной столешницы на твердых подставках, а объем – все столы любого вида. Чем шире объем понятия, тем беднее его содержание, и наоборот. Так, понятие «письменный стол» предполагает, как дополнительные признаки, тумбы, ящики, определенную высоту и т.д.; но включает гораздо более узкий круг предметов, чем понятие «стол».

Формальная логика, как мы не раз уже отмечали, не работает с содержанием понятий; зато отношение их объемов играет в ее операциях важнейшую роль. Ведь все признаки более общего и широкого понятия, напр. «стол», необходимо присущи более узкому (напр., письменному столу), тогда как обратное утверждение неверно. Такое соотношение понятий по объему называется их субординацией. Встречаются также отношения равнозначности (напр. квадрат и равносторонний прямоугольник); перекрещивания (напр. студенты и спортсмены), координации (напр. кошки и собаки как виды домашних животных), несравнимости (напр. планета и диагональ).

Существенную роль в логике играет также деление объема понятий. Это такое ограничение исходного понятия, при котором получается два или более координированных частных понятия. Важнейший вид деления – дихотомия, т.е. деление понятия надвое. При ней могут получиться или противоположные (контрарные, полярные), или противоречащие (контрадикторные) понятия. Первые обозначают крайние несовместимые признаки, напр. верхний и нижний этажи здания; но между ними нередко могут быть признаки промежуточные, напр. – средние этажи, если это более чем двухэтажное здание.

Таким образом, тут фактически может оказаться не дихотомия, а, напр., трихотомия – деление натрое, а то и более сложный случай. Следовательно, контрарные понятия, получившиеся при дихотомии, не обязательно исчерпывают объем исходного понятия. Этому требованию вполне соответствуют только контрадикторные понятия, которые  получаются друг из друга при помощью частицы «не», напр. верхний – не верхний (этаж). Именно через них формулируются законы логики, основные из которых мы упоминали в предыдущей теме.

Деление понятий, полностью исчерпывающее их объем, называется классификацией понятий. Выделение контрадикторных понятий – простейшая классификация; но обычно тут подразумевают много уровней. Правильная классификация не содержит пропусков и наложений, и должна быть непрерывной, т.е. переходить сначала от родов к видам, и только потом к подвидам и т.д. Она должна также исключать пропуски групп производных понятий. Существует особая научная дисциплина – таксономия, которая разрабатывает аппарат и правила классификации для сложно организованных областей знания, в частности, для потребностей биологии.

Генерализация понятий – действие, обратное классификации. Это соединение родственных понятий по общим признаком, в результате чего получается новое понятие. Напр., из понятий студентов, школьников, слушателей и курсантов получается понятие учащихся. Распространенная ошибка при классификации и генерализации – когда логические категории спутывают с физическими или с административными отношениями. Напр., понятие комнаты обобщают не до «помещения», а до «здания», «университет» делят не на факультеты, а на корпуса или на аудитории, а «декана» логически подчиняют «ректору».

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ

В логике определение понятия называют (по-латыни) дефиницией, само определяемое понятие – дефиниендум (Dfd), а определяющую часть – дефиниенс (Dfn). Определения делятся на явные (эксплицитные) и неявные (имплицитные). Последние делят еще на контекстуальные (они всегда имплицитные) и описательные; иногда допускают также остенсивные определения – путем простого указания на определяемый предмет. В научной и вообще в профессиональной деятельности главную роль играют явные определения. Это такое определение, в котором дефиниенс включает в себя ближайший род (лат. genus proximum), т.е. ближайшее более общее понятие, и указание решающего видового отличия (лат. differentia specifica). Напр.: человек – земное живое существо, обладающее разумом.

Во всяком определении желательно, а в научном – необходимо соблюдать равенство объемов определяемого и определяющего: Dfd = Dfn. Несоблюдение этого требования – ошибка, которая называется нарушением соразмерности в определении. Так, определение ромба как четырехугольника с параллельными сторонами является слишком широким (под него попадает любой параллелограмм),  а его же определение как четырехугольника с равными сторонами и углами является слишком узким, т.к. описывает только квадрат; требование равенства углов тут излишне. Всегда несоразмерны отрицательные определения (напр.: Нейтрино – это не заряженная элементарная частица); поэтому научная теория должна содержать и положительные определения понятий.

Однако наиболее общие понятия науки, напр. понятие материи, нельзя представить в виде положительной дефиниции, т.к. тут уже нет более общих понятий. В таких случаях дают определения через противопоставление; напр. объективность и первичность бытия материи противопоставляется субъективности мышления и его производности от материальных форм бытия. Но тем самым мы уже переступаем с почвы конкретных наук на почву философии. В художественной литературе дефиниция часто заменяется характеристикой – выделением наиболее типичных признаков предмета, напр.: Евгений Онегин – типаж «лишнего человека» в русском обществе XIX столетия.

Ко всякому определению предъявляется требование ясности. Это значит, что нельзя определять искомое понятие через нечто еще менее известное, или через непонятное для многих, напр. – определять дерево как реальный прообраз частично несимметричного трехмерного графа. Распространенной ошибкой является круг в определении, когда в качестве определяющего выступает то же, что определяется, только выраженное другими словами, напр.: Ясное определение – это понятное людям определение. Эта ошибка провоцируется реальной потребностью давать людям дополнительные словесные пояснения, привлекая ресурсы чувственно-образной сферы; тем не менее, в науке такие определения должны исключаться.

Строго говоря, любое определение раскрывает предмет односторонне, а для достаточно полного описания предмета необходима система определений. В науке такая система порой перерастает в теорию данного предмета. Но во многих случаях как познания, так и практики, можно обойтись хорошими сущностными определениями с глубоким смыслом. Однако их смысловой отбор совершается за пределами формальной логики.

Определение понятий уже предполагает использование суждений; эту форму мысли мы рассмотрим в следующей теме.

Логика, 1. ПРЕДМЕТ, ТИПЫ И ПРИНЦИПЫ

Эта тема излагается в блоге подробнее большинства других тем данного курса, т.к. всякое начало важно, особенно – в смысловом отношении. См. также предыдущую публикацию "Логическая символика".

1. ПРЕДМЕТ И ТИПЫ ЛОГИКИ

Обычно логику определяют как науку о законах мышления. Но у человека есть два типа мышления – чувственно-образный, унаследованный от животных, и словесно-понятийный, собственно человеческий. Логика изучает именно законы речевого, понятийного мышления; само греч. logos означает слово, понятие. Законы чувственно-образного, ассоциативного мышления часто пересекаются с законами логики, но существенно отличны от них, и являются предметом психологии. В свою очередь, понятийное мышление существует на двух уровнях: 1) рассудок (лат. ratio) и 2) разум (лат. intellectus). Первый представляет собой мышление известными понятиями по известным правилам; второй – создает новые понятия и правила рассуждения (слово «разум» не однозначное, но здесь мы употребляем его в указанном смысле).

Соответственно, есть два типа логики: логика рассудка и логика разума. Первую из них со времен И. Канта называют формальной логикой. Дело в том, что в консервативных формах бытия и мышления на первый план выдвигается соблюдение установленных форм. Соответственно, логика рассудка рассматривает связи между мыслями со стороны их формы, не учитывая содержание, которое изменчиво по своей природе. В ней порой предлагают упражнения с заведомо нелепым содержанием, чтобы тренировать соблюдение формы.

Такая особенность позволяет применить к мышлению формализацию, т.е. замену понятий и предложений условными символами, а рассуждений – правилами операций с этими символами. Это облегчает соблюдение формальных правил и позволяет как бы автоматизировать мышление, на данном его уровне. Напр., если дано А®В и В®С, то «автоматически» выводится А®С, независимо от содержания А, В и С, и даже мало зависимо от трактовки знака ® (тут – «следует»). С середины XIX в. формализация логики вышла на уровень систематизированных символических теорий, имеющей собственную структуру и подобных математическим исчислениям. Порой такую логику прямо называют математической, и изучают как ветвь математики.

Формализация мышления доводит порой до видимых парадоксов. Так, в символической логике считается истинным умозаключение «Если 2x2=4, то Москва является большим городом». В самом деле, тут между посылкой и заключением нет содержательной связи. Но парадокс только кажущийся: его можно устранить, опосредовав первое и второе суждение рядом утверждений с содержательной связью. Зато такие формы мышления позволяют сильно сократить рассуждения, строя элегантные и притом эффективные теории. Другим важным достоинством формальной логики является определенность получаемых результатов, а нередко на этом пути достигается, подобно математике, и теоретическая достоверность.

Поэтому формальная логика широко применяется в науках (в естествознании, лингвистике, социологии и др.), а посредством информатики она стала важнейшим средством развития искусственного интеллекта. Но, как сформулировал еще Б. Спиноза, omnis determinatio est negatio (лат. всякое определение есть отрицание); по-другому, всякая определЁнность есть определЕнность, т.е. – ограниченность. Связи между предметами в мире не сводятся к их формальной стороне, а значит, не могут быть полностью отражены формальной логикой. Как и следовало ожидать, «ахиллесовой пятой» такой логики является творческая продуктивность, т.к. творческие процессы развиваются именно как содержательные изменения. В силу этого, и с той же стороны, ограниченными оказываются возможности искусственного интеллекта.

Ограниченность формализации была осознана уже в период создания формальной логики. Сам ее создатель, Аристотель Стагирит (IV в.до н.э.), назвал эту новую дисциплину не логикой, но аналитикой. Действительно: она является хорошим орудием анализа действительности, но в области синтеза знаний ее возможности много скромнее; между тем, творчество и синтез неразделимы. В том же столетии представители мегарской школы философии (Евбулид и др.) заметили неразрешимость в формализованном мышлении двух типов задач, связанных как раз с развитием, как формой творчества в реальном мире.

Это, во-первых, парадоксы типа «Куча», напр.: одно зерно не куча, и два зерна не куча, вообще – если к n зерен, не составляющих кучу, добавить еще одно, формально кучи не получится. Но ведь в реальности и она когда-то получается!.. Определить этот момент не так уж трудно, но потребуется учесть или задать содержательные характеристики, в частности – степень сыпучести зерна, зависящую от его природы, веса, влажности и состояния атмосферы. А одни только формальные средства мышления не могут отразить скачкообразный переход количественных изменений в качественные, который мы встречаем во всяком последовательном развитии.

Во-вторых, это парадоксы типа «Лжец» (Критянин), напр.: «Утверждение, которое вы сейчас читаете, ложно». Допустив, что оно действительно ложно, вы формально-логически придете к заключению об его истинности, и наоборот. Здесь проблема в противоречии, как столкновении противоположностей (утверждения и отрицания) в одном суждении. Противоречие тоже встречается во всяком реальном развитии, и преодолевается в нем появлением чего-то содержательно нового. Но формальная логика не умеет работать с содержанием, и, как ниже показано, прямо накладывает запрет на противоречие.

Парадоксы типа «Лжец» имеют богатую литературную историю. А в конце XIX в. они обнаружились в математической теории множеств, в виде вопроса: возможно ли множество всех множеств, не содержащих себя в качестве своего члена?.. Английский философ Б. Рассел проиллюстрировал эту ситуацию парадоксом деревенского брадобрея, который дал зарок брить только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Тогда возникает вроде бы неразрешимый вопрос: должен ли он брить самого себя?.. На деле, он бы легко вышел из положения, обучив бритью другого жителя деревни, т.е. – решил бы проблему путем содержательного развития; но такие изменения в формальной логике тоже находятся под запретом.

Такое решение действительно не подходит и для математической теории множеств, поскольку она сама является формальной и поскольку имеет дело с бесконечностью, к которой уже нельзя добавить ничего существенного. Остается только наложить запрет на т.н. самоотносительные (самореферентные) высказывания, в которых возникают парадоксы типа «Лжец». Б. Рассел и А. Тарский (польско-американский логик XX в.) так и поступили, и в сфере формализации это, видимо, наилучшее решение; только сама эта сфера не отражает всей действительности и не исчерпывает возможностей мышления.

А в XX в. ограниченность формальной логики была, наконец, доказана ее собственными средствами. Наиболее показательный из этих результатов – т.н. теоремы о неполноте формальной арифметики, сформулированные К. Гёделем в 1931 г. Согласно им, никакая содержательная область не может быть полностью отражена в какой-либо непротиворечивой формализации. Фактически, это «заявка» на иную логику, которая умела бы работать с противоречием, не приводя при этом к утрате путеводных нитей мышления, к хаосу в заключениях и предсказаниях. Именно такова логика разума, она же – диалектическая логика. Становление такой логики началось еще в Древней Греции, а относительной (не полной) зрелости она достигает в марксистской философии.

Однако ряд специалистов отказывается признать ее видом логики, т.к. она не претендует на определенность выводов. И даже большинство ее сторонников не признаёт существование диалектической логики как особенной научной дисциплины. В реальности это лишь одна из сторон диалектики, понимаемой как «учение о наиболее общих законах развития и связи в природе, обществе и мышлении» (Ф. Энгельс). Законы диалектики и являются общими законами как реального прогресса, так и творческого мышления. Как в самой действительности, в развитии мысли нет однозначной предопределенности; тем не менее, есть надежные умственные ориентиры.

В отечественной традиции, диалектика рассматривается в курсе философии, а курс логики как таковой подразумевает именно формальную логику. Диалектическую логику мы лишь иногда будем упоминать, для сравнения ее идей с положениями формальной логики. Законы и правила этой последней (в отличие от законов диалектики) просты для понимания, а ее операции часто напоминают элементарную алгебру. В то же время, ее освоение и применение требуют как бы бухгалтерской въедливости, кропотливости и скрупулёзности. Ведь здесь, как и в бухгалтерии, маленькая ошибка может повлечь катастрофические последствия.

2. ПРИНЦИПЫ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

Большинство авторов начинают изложение логики с тем «Понятие», «Суждение», «Умозаключение», и только потом вводят принципы (основные законы) логики, как формы т.н. пропозициональных умозаключений. Мы полагаем, что современный уровень подготовки читателя (напр., студента) позволяет сразу начать логику с ее принципов, что позволяет реализовать передовой метод изложения теории от общего к частному. Возможные здесь затруднения вполне преодолеваются школьным знанием грамматики (эта дисциплина родственна логике).

Само рассмотрение принципов логики чаще начинают с закона тождества, видимо – в силу его максимальной наглядности. Но мы первым вводим принцип непротиворечия (иногда пишут: противоречия), поскольку он наиболее ярко отличает формальную логику от диалектической, а в некотором смысле – является исходным для логики обоих типов. Этот принцип гласит: никакое утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными в одном и том же отношении. В символической записи: ù(A&ùА), можно прочесть «Всегда неверно утверждать А и не-А, в одно время и в одном отношении».

Напр., в данный момент сын не может быть ниже и не ниже отца ростом, хотя с возрастом результат может измениться; а в отношении, допустим, спортивных достоинств он и сейчас может оказаться противоположным. Другая форма того же принципа – т.н. закон Дунса Скота: из противоречия (или: из лжи) выводится что угодно; в символической записи ùА ® (А®В). Прочесть можно так: если А ложно, то из (противоречивого) допущения А следует любое утверждение – В, С и т.д. Выдающийся математик XX в. Д. Гильберт писал: «Разрешите мне принять, что 2х2=5, и я докажу, что из вашей печной трубы вылетает ведьма».

Но еще в VI в. известный философ и логик М.С. Боэций заметил, что противоречия несовместимы лишь в модусе действительного (наличного, актуального) бытия, но вполне совместимы в возможности. В самом деле: в мире всё изменяется, порой – до полного отрицания прежнего. Объясняя это развитие, диалектика исходит из принципа единства и борьбы противоположностей. Такое сложное единство называется в ней диалектическим противоречием; в этом смысле, она исходит как раз из «принципа противоречия». При этом рассмотренный принцип формальной логики не отбрасывается: просто учитываются ход времени, изменение предметов и смена отношений. На наш взгляд, оба эти принципа, каждый – для своего типа логики, могут рассматриваться как единственные постулаты, из которого выводится всё остальное в этих теориях.

Второй закон логики, т.н. принцип тождества, гласит, что в одном рассуждении всякая мысль должна выступать строго неизменной; символически: А≡А. Это не такая банальность, как кажется на первый взгляд. Постоянное изменение реальности подталкивает нас изменять также смыслы наших слов и суждений. Нередко мы делаем это бессознательно, обманываясь многозначностью или неточностью определения слов в обыденном языке. Поэтому нормы научной методологии требуют употреблять в рассуждениях не просто слова, но термины, т.е. – слова с точно определенным значением, и не изменять это значение на протяжении всей цепи умозаключений.

Примером нарушения принципа тождества может служить одна из версий т.н. парадокса Куайна. Она формулируется так: необходимо, что 9 больше чем 7; но число планет = 9; следовательно, число планет необходимо больше чем 7. Парадоксом это считается потому, что по законам астрономии число планет может быть произвольным. А ошибка тут в том, что слово «необходимо» первый раз обозначает закон натурального ряда чисел, а второй раз претендует на роль закона построения Солнечной или иной планетной системы. Слова здесь одинаковые, но термины и понятия разные (подробнее см. в нашей статье: О парадоксе Куайна // Проблемы логики и методологии науки. Новосибирск: Наука, 1982. – С. 57–66).

Другая форма того же принципа – закон снятия двойного отрицания. Он гласит: отрицание отрицания тождественно утверждению; символически ùùА≡А. Эта «зацикленность» знакома многим из школьной грамматики и элементарной алгебры. Известно, что в алгебре «минус на минус дает плюс»; а сказать «Неверно, что Иванов отсутствует», значит утверждать «Иванов присутствует». В диалектике тоже есть закон отрицания отрицания, но там его действие приводит не к циклу, а к незамкнутой кривой, напоминающей спираль. В самом деле: день отрицает ночь и отрицается следующей ночью; но ведь это не та и зачастую не такая же ночь, что предыдущая. Традиционная формальная логика как бы игнорирует данное различие. Это, конечно, сильная идеализация. Но идеализации в науке бывают полезны, а порой и необходимы; так же – формальная логика.

Еще более уязвим перед здравым смыслом третий закон формальной логики – принцип исключенного третьего. Он гласит: из двух отрицающих друг друга утверждений одно обязательно истинно, а второе обязательно ложно, и tertium non datur (лат. третьего не дано). В символическом виде пишется АÅùА, читается «либо А, либо не-А». Напр., это нечто либо белое, либо не белое (может быть серое, черное или любое цветное). Еще сам Аристотель, а в дальнейшем – «отец» современной диалектики Г. Гегель и многие другие авторы, отмечали ограниченность данного принципа, но вопрос доныне остается дискуссионным.

Мы полагаем, что с формальной стороны этот принцип неоспорим, а слабость его состоит в наиболее явном отходе от содержательной реальности. Особенно – в случаях, когда мышление сталкивается с комбинацией разных признаков в одном предмете. Формально, о детском многоцветном мячике можно утверждать, что он не синий, т.к. в нем присутствует не только синий цвет; о парте можно утверждать, что она не стол и не бюро, потому в ней есть еще и скамейка; но во всех этих случаях реальность отражается крайне однобоко и скудно.

Данный недостаток усиливается до предела, когда мышление сталкивается с ситуацией становления. Ведь здесь мы встречаем такую комбинацию признаков, когда каждый из них еще не обрел устойчивого существования. Из-за этого, в частности, формально неразрешим важный юридический и нравственный вопрос, волнующий человечество на протяжении всей истории: можно ли считать аборт убийством человека? Ведь плод в утробе матери – только становящееся существо. Даже биологически он еще не совсем человек, на ранних сроках – даже не обезьяна, тем более – не разумное существо и не член нашего социума. Остается решать эту проблему на основе моральных установок или эмоциональных подходов, которые у людей неодинаковы и изменчивы.

Подобные проблемы возникают и в естествознании, поскольку оно вторгается в сферу становления вещественной реальности. Так, квантовые объекты проявляются то как частицы, то как волны. Правда, эти их признаки реализуются в разные моменты времени или в разных отношениях. И поскольку формальная логика предполагает жесткую фиксацию моментов и отношений, мы все же имеем право сказать, что в текущей ситуации это либо волна, либо не волна, tertium non datur. Но относительно предмета в целом мы тут вообще не можем применить этот принцип, не можем сказать, что данный объект – либо частица, либо волна. В этом заключается одна из причин тяготения квантовых физиков к релятивизму и мистике.

В случаях с комбинацией и становлением, сама природа как бы задает нам сразу два вопроса, на которые не может быть одного ответа. Такая же ситуация намеренно воспроизводится в софистических вопросах. Некоторые из них прямо выражают ситуацию становления, напр.: «Можно ли съесть яйцо натощак?», «Может ли всадник сойти с лошади?», и т.п. В других софистических вопросах сочетание разнородных признаков выступает явно, напр. в вопросе «Был ли Гомер скифом и автором Илиады?» Но чаще оно бывает скрытым, в виде т.н. безальтернативных вопросов обидного содержания. Спрашивают, напр., «Перестал ли ты бить отца?», «Потерял ли ты рога?» и т.п., и требуют однозначного ответа, как на детекторе лжи. Но такой ответ неминуемо ставит отвечающего в смешное положение; досадна для него и необходимость объяснять, что бить отца он и не начинал, а рогов никогда не имел.

В теоретическом плане, тут достаточно разъяснить, что сам такой вопрос задан неправильно, с нарушением принципа тождества и злоупотреблением принципом исключенного третьего, и поэтому не него не может быть дан однозначный ответ. Но на практике задающий такие вопросы обычно выступает как агрессор, не склонный внимать теоретическим доводам и соображениям справедливости. Поэтому приходится применять к нему нелогические меры воздействия, с учетом конкретных обстоятельств; хорошо – если только речевые меры.

В XX в. некоторые неклассические (многозначные и др.) системы формальной логики отрекались от принципа tertium non datur. Есть в ней и группа учений, которые отказываются от закона снятия двойного отрицания, а значит, и от строгого соблюдения принципа непротиворечия: т.н. паранепротиворечивые логики. Однако эти учения утрачивают некоторые возможности традиционной логики, не обретая полноценных возможностей диалектики. Мы предпочитаем оставить то и другое в классическом виде, и применять каждую из этих концепций там, где она уместна. Столяру нужны и пила, и рубанок, и дрель, и т.д. Также познающему нужны разные инструменты; но не пилите рубанком и не строгайте пилой.

Все три рассмотренных выше принципа логики выявил еще сам Аристотель, создатель этой «аналитики». В современных учебниках к ним часто добавляют четвертый принцип, он же – закон достаточного основания, установленный Г. Лейбницем в XVII в. Этот закон гласит, что научные суждения должны быть логически выводимы из других достоверных суждений. В символическом виде пишется (A®B)&A Þ B, читается: если установлено, что из А следует В, и что А истинно (существует в реальности), то выводимо, что В истинно (существует в реальности). Мы полагаем, что перед нами скорее принцип методологии познания, чем собственно логики, а в последней он – одна из теорем и вид условно-категорического умозаключения. Но эта формула действительно широко применяется в логике, как одно из правил вывода, т.н. modus ponens (лат. способ полагания). Следуя традиции, мы тоже привели ее в этом параграфе.

В свете упомянутых выше теорем Гёделя, закон достаточного основания нельзя полностью соблюсти ни в одной теории; но он представляет собой идеал, к которому надо стремиться, чтобы достичь наилучшего результата. В диалектической методологии этому закону можно сопоставить или противопоставить принцип конкретности истины: истинность всякого суждения зависит от времени, обстоятельств и от «специфической логики» бытия этого предмета. В том же ключе, закону тождества можно сопоставить или противопоставить диалектический принцип развития (всегда нарушающего тождество), а закону исключенного третьего – диалектический принцип всеобщей связи. Но мы здесь не станем рассматривать эти принципы диалектики, и перейдём к другим темам нашего курса.